激振荷载作用下桩基础动力响应的现场试验分析

曹小林; 周凤玺; 戴国亮; 龚维明

doi:10.11779/CJGE2023S10008

激振荷载作用下桩基础动力响应的现场试验分析 English Version

曹小林^{1, 2,},
周凤玺^{1, 2},
戴国亮³,
龚维明³

1.
兰州理工大学土木工程学院, 甘肃兰州 730050
2.
兰州理工大学西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心, 甘肃兰州 730050
3.
东南大学土工程学院, 江苏南京 211189

基金项目:

国家自然科学基金项目 12362032

国家自然科学基金项目 51978320

兰州理工大学红柳优秀人才支撑计划

详细信息

作者简介:
曹小林(1990—)，男，讲师，硕士生导师，主要从事岩土工程方面的教学与科研工作。E-mail: xlcao@lut.edu.cn

中图分类号: TU473
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出版历程
- 收稿日期: 2023-07-06
- 网络出版日期: 2023-11-23
- 刊出日期: 2023-10-31

Field tests on dynamic response of pile foundation under excitating loads

1.
School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China
2.
Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China
3.
School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China

摘要

摘要: 为了研究水平和竖向激振动力荷载作用下单桩和群桩的承载特性，设计了水平和竖向激振荷载下单桩、两桩、三桩和四桩在多层土中的动力试验方案。对现场试验数据采集得到了单桩、两桩、三桩和四桩的桩头位移，分析了桩头位移随着激振频率和桩数的变化规律。基于试验结果，给出了单桩、两桩、三桩和四桩的水平和竖向刚度，分析了桩头刚度随着桩数和激振频率的变化规律。并采用刚度得到了群桩动力效率系数，分析了动力效率系数随着群桩桩数和振动频率的变化规律。试验结果给出了位移、桩头刚度和群桩相互作用系数的变化规律，为简化理论计算方法和验证计算模型提供了宝贵的数据。
- 现场试验 /
- 桩基础 /
- 动力响应 /
- 激振荷载 /
- 群桩刚度
Abstract: To study the bearing characteristics of single pile and pile groups under horizontally and vertically excitating dynamic loads, a dynamic test plan is designed for single pile, two piles, three piles and four piles in multi-layer soil under horizontally and vertically excitating loads. The pile-head displacements of single pile, two piles, three piles and four piles are obtained from field test data, and the variation laws of the pile-head displacements with excitating frequency and pile number are analyzed. Based on the test results, the horizontal and vertical stiffnesses of single pile, two piles, three piles and four piles are given, and the variation of pile-head stiffness with the number of piles and excitating frequency is analyzed. The dynamic efficiency coefficient of the pile group is obtained through the stiffness, and its variation laws with the number of piles in the pile group and vibration frequency are analyzed. The test results may provide valuable data for simplifying the theoretical methods and verifying the relevant models through changes in displacement, pile-head stiffness and interaction coefficient of pile groups.
- field test /
- pile foundation /
- dynamic response /
- excitating load /
- group pile stiffness

HTML全文

0. 引言

随着城市轨道交通的快速发展，列车荷载引起的环境振动问题受到越来越多的关注。不少学者对移动荷载作用下地基的动力响应开展了研究。Eason^[1]通过积分变换法求得了速度小于瑞丽波速的移动点荷载作用下均质弹性半空间位移、应力响应的数值解。Hung等^[2]研究了亚音速、跨音速及超音速3种不同速度范围内的移动荷载作用下黏弹性半空间的动力响应规律，并分析了移动荷载形状分布及加振频率的影响。De等^[3]采用传递反射矩阵法求得了成层弹性半空间在移动荷载的动力格林函数。自Biot^[4-5]提出饱和多孔介质的动力控制方程后，多数学者都基于该控制方程对饱和土体动力响应进行研究。Jin等^[6]利用梯形求积公式获得了振动荷载作用下半无限多孔饱和固体中的应力和孔隙水压力数值解。胡安峰等^[7]利用Fourier积分变换求解了下卧基岩饱和半平面在移动线荷载作用下的动力响应。Xu^[8]等研究了饱和成层土体上无限长Euler-Bernoulli梁在移动荷载作用下的动力响应。Cai等^[9]研究了移动矩形荷载作用下饱和土体的动力响应。

上述研究中，移动荷载大多作用在地基表面，而对地铁等地下构筑物来说，移动荷载作用在地表以下一定深度处。Pak^[10]采用势函数的方法求解了弹性半空间内部点源荷载作用下的动力响应。Senjunctichai等^[11]求得了二维均质多孔弹性半空间在内部荷载激励作用下的动力格林函数。陈胜立等^[12]通过Hankel变换变换方法，求解了埋置点源荷载的轴对称Lame问题。杜秦文等^[13]采用Hankel积分变换法，得到了埋置点源简谐荷载作用下Gibson土体的动力Green函数。上述文献中的埋置荷载多假定为固定位置动荷载。Metrikine等^[14]通过建立一个二维弹性层-梁耦合的简化模型，对隧道中列车运行引起的地表振动规律进行了研究。Yuan等 ^[15]在Metrikine等^[14]的基础上，求解了饱和地基-梁模型在移动荷载作用下的振动解析解。上述两个模型均为二维模型，忽略了垂直于荷载移动方向的地基振动。Forrest等^[16]通过建立筒中筒（PIP）模型，在柱坐标系下对移动点荷载作用下圆形衬砌隧道埋置于弹性全空间中的动力响应情况进行了求解，但未考虑地表边界的影响。本文建立了三维黏弹性半空间地基模型，并通过引入势函数及利用三维傅里叶积分变换及逆变换方法，在笛卡尔坐标系下求解了埋置移动点荷载作用下黏弹性半空间的动力响应积分形式解。最后，通过数值算例分析了埋置荷载移动速度，埋置深度等因素对地表振动传播分布及衰减规律的影响。

1. 控制方程及其通解

均质各向同性弹性体的控制方程以张量形式可表示为（不计体力）：

$\mu {u_{i, jj}} + (\lambda + \mu ) \cdot {u_{j, ji}} = \rho {\ddot u_i} 。$

(1)

式中： ${u_i}$ 为弹性体的位移， $i = x, y, z$ ； $\rho$ 为弹性介质的质量密度； $\lambda$ ， $\mu$ 为弹性体的Lame常数；（^..）为对时间 $t$ 的二阶导数。

根据Helmholtz分解定理，引入标量势函数 $\phi$ ，矢量势函数 ${\psi _j} = ({\psi _1}, {\text{ }}{\psi _2}, {\psi _3})$ 。对位移场作如下分解：

${u_i} = {\phi _{, i}} + {e_{ijk}}{\psi _{k, j}} 。$

(2)

将式（2）代入式（1）可得如下关于势函数的表达式：

${\nabla ^2}\phi - \frac{1}{{{c_{\rm{P}}}^2}} \cdot \frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {t^2}}} = 0 \text{, }\$

(3a)

${\nabla ^2}{{\mathit{\Psi}} _j} - \frac{1}{{{c_{\rm{S}}}^2}} \cdot \frac{{{\partial ^2}{{\mathit{\Psi}} _j}}}{{\partial {t^2}}} = 0 。$

(3b)

式中： ${c_{\rm{P}}}$ ， ${c_{\rm{S}}}$ 分别为弹性半空间体的压缩波与剪切波波速： ${c_{\rm{P}}} = \sqrt {\frac{{\lambda + 2\mu }}{\rho }}$ ， ${c_{\rm{S}}} = \sqrt {\frac{\mu }{\rho }}$ ； ${\nabla ^2}$ 为Laplace算子， ${\nabla ^2} = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}$ 。

假定在直角坐标系中矢量势函数满足如下条件：

$\mu {\psi _{j, j}} = 0 。$

(3c)

定义对 $x$ ， $y$ ， $t$ 的三重Fourier变换及逆变换分别为

$\widehat{\overline{\overline{g}}}({k}_{1}, {k}_{2}, z, \omega )={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x, y, z, t)}{\rm{e}}^{-{\rm{i}}{k}_{1}x}{\rm{e}}^{-{\rm{i}}{k}_{2}y}{\rm{e}}^{-i\omega t}{\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}t}}\text{, }\$

(4a)

$g(x, y, z, t)=\frac{1}{{\left(2{\rm{ \mathsf{ π}}} \right)}^{3}}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{\overline{\overline{g}}}({k}_{1}, {k}_{2}, z, \omega )}{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k}_{1}x}{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k}_{2}y}{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}{\rm{d}}{k}_{1}{\rm{d}}{k}_{2}{\rm{d}}\omega }}。$

(4b)

将式（3a）~（3c）进行式（4a）中的Fourier积分变换可得：

$\frac{{{\rm{d}}}^{2}\widehat{\overline{\overline{\phi }}}}{{\rm{d}}{z}^{2}}-{B}_{\rm{P}}{}^{2}\widehat{\overline{\overline{\phi }}}=0\text{ }\text{, }\$

(5a)

$\frac{{{{\rm{d}}^2}\widehat {\overline{\overline {{{\mathit{\Psi}} _j}}} }}}{{{\rm{d}}{z^2}}} - {B_{\rm{S}}}^2\widehat {\overline{\overline {{{\mathit{\Psi}} _j}}} } = 0 \text{, }\$

(5b)

$\frac{{{\rm{d}}\widehat {\overline{\overline {{{\mathit{\Psi}} _3}}} }}}{{{\rm{d}}z}} = - ({\rm{i}}{k_1}\widehat {\overline{\overline {{{\mathit{\Psi}} _1}}} } + {\rm{i}}{k_2}\widehat {\overline{\overline {{{\mathit{\Psi}} _2}}} }) 。$

(5c)

式中： ${B_{\rm{P}}}^2 = {k_1}^2 + {k_2}^2 - {k_{\rm{P}}}^2$ ； ${B_{\rm{S}}}^2 = {k_1}^2 + {k_2}^2 - {k_{\rm{S}}}^2$ ； ${k_{\rm{P}}} = \frac{\omega }{{{c_{\rm{P}}}}}$ ； ${k_{\rm{S}}} = \frac{\omega }{{{c_{\rm{S}}}}}$ 。其中 ${B_{\rm{p}}}$ ， ${B_{\rm{s}}}$ 的实部大于零。

由弹性介质本构方程及傅里叶变换公式可得波数-频率域内位移及应力响应分量表达式为

${\widehat {\overline{\overline u} }_x} = {\rm{i}}{k_1}\widehat {\overline{\overline \phi } } + {\rm{i}}{k_2}{\widehat {\overline{\overline \psi } }_3} - \frac{{\partial {{\widehat {\overline{\overline \psi } }}_2}}}{{\partial z}} \text{, }\$

(6a)

${\widehat {\overline{\overline u} }_y} = {\rm{i}}{k_2}\widehat {\overline{\overline \phi } } - {\rm{i}}{k_1}{\widehat {\overline{\overline \psi } }_3} + \frac{{\partial {{\widehat {\overline{\overline \psi } }}_1}}}{{\partial z}} \text{, }\$

(6b)

${\widehat {\overline{\overline u} }_z} = \frac{{\partial \widehat {\overline{\overline \phi } }}}{{\partial z}} + {\rm{i}}{k_1}{\widehat {\overline{\overline \psi } }_2} - {\rm{i}}{k_2}{\widehat {\overline{\overline \psi } }_1} \text{, }\$

(6c)

${\widehat{\overline{\overline{\sigma }}}}_{zz}=\lambda \left(\frac{{\partial }^{2}\widehat{\overline{\overline{\phi }}}}{\partial {z}^{2}}-{k}_{1}{}^{2}\widehat{\overline{\overline{\phi }}}-{k}_{2}{}^{2}\widehat{\overline{\overline{\phi }}}\right)+2\mu \left({\rm{i}}{k}_{1}\frac{\partial {\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{2}}{\partial z}-{\rm{i}}{k}_{2}\frac{\partial {\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{1}}{\partial z}+\frac{{\partial }^{2}\widehat{\overline{\overline{\phi }}}}{\partial {z}^{2}}\right)\text{, }\$

(6d)

${\widehat{\overline{\overline{\tau }}}}_{xz}=\mu \left(2{\rm{i}}{k}_{1}\frac{\partial \widehat{\overline{\overline{\phi }}}}{\partial z}+{k}_{1}{k}_{2}{\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{1}-{k}_{1}{}^{2}{\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{2}-\frac{{\partial }^{2}{\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{2}}{\partial {z}^{2}}+{\rm{i}}{k}_{2}\frac{\partial {\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{3}}{\partial z}\right)\text{, }\$

(6e)

${\widehat{\overline{\overline{\tau }}}}_{zy}=\mu \left(2{\rm{i}}{k}_{2}\frac{\partial \widehat{\overline{\overline{\phi }}}}{\partial z}+{k}_{2}{}^{2}{\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{1}+\frac{{\partial }^{2}{\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{1}}{\partial {z}^{2}}-{k}_{1}{k}_{2}{\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{2}-{\rm{i}}{k}_{1}\frac{\partial {\widehat{\overline{\overline{\psi }}}}_{3}}{\partial z}\right)\text{ }。$

(6f)

2. 边值问题

给出了本文的理论研究模型示意图。沿 $x$ 轴正方向匀速移动的竖向点荷载作用在黏弹性半空间体表面以下深度 $z = h$ 处的平面上，移动荷载表达式为 $F = p{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\omega _0}t}}\delta (x - ct)\delta (y)$ ，其在变换域内荷载表达式为 $\widehat {\overline{\overline F} } = \frac{p}{{\sqrt {2{\rm{ \mathsf{ π}}} } }}\delta ({\omega _0} + \omega + c{k_1})$ 。其中p为荷载幅值，c为荷载移动速度， ${\omega _0}$ 为荷载自振频率， $\delta$ 为狄拉克函数。考虑荷载由 $x$ 轴的负无穷处向正无穷处移动，当 $t = 0$ 时，荷载恰好移动到坐标原点处。

图 1 埋置移动荷载作用于弹性半空间内部示意图

Figure 1. Diagram of elastic half-space with embedded moving loads

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根据波的辐射特性，将弹性半空间体分为上下两个区域：区域1 ${\text{(}}0 \leqslant z \leqslant {h_ - }{\text{)}}$ 与区域2 $({h_ + } \leqslant z \leqslant + \infty )$ ，如图 1所示。则由式（3a）、（3b）可解得变换域内势函数可表示为

当 $0 \leqslant z \leqslant {h_ - }$ 时，

$\left. \begin{array}{l} \widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Phi}} }}}={a}_{1}{\rm{e}}^{{B}_{\rm{P}}z}+{a}_{2}{\rm{e}}^{-{B}_{\rm{P}}z}\text{, }\ \\ {\widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Psi}} }}}}_{1}={a}_{3}{\rm{e}}^{{B}_{\rm{S}}z}+{a}_{4}{\rm{e}}^{-{B}_{\rm{S}}z}\text{, }\ \\ {\widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Psi}} }}}}_{2}={a}_{5}{\rm{e}}^{{B}_{\rm{S}}z}+{a}_{6}{\rm{e}}^{-{B}_{\rm{S}}z}\text{, }\ \\ {\widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Psi}} }}}}_{3}=-\frac{{\rm{ie}}^{{B}_{\rm{S}}z}}{{B}_{\rm{S}}}({a}_{3}{k}_{1}+{a}_{5}{k}_{2})+\frac{{\rm{ie}}^{-{B}_{\rm{S}}z}}{{B}_{\rm{S}}}({a}_{4}{k}_{1}+{a}_{6}{k}_{2})。 \end{array} \right\}$

(7a)

当 ${h_ + } \leqslant z \leqslant + \infty$ 时，

$\left. \begin{array}{l} \widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Phi}} }}}={a}_{7}{\rm{e}}^{-{B}_{\rm{P}}z}\text{, }\ \\ {\widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Psi}} }}}}_{1}={a}_{8}{\rm{e}}^{-{B}_{\rm{S}}z}\text{, }\ \\ {\widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Psi}} }}}}_{2}={a}_{9}{\rm{e}}^{-{B}_{\rm{S}}z}\text{, }\ \\ {\widehat{\overline{\overline{{\mathit{\Psi}} }}}}_{3}=\frac{{\rm{ie}}^{-{B}_{\rm{S}}z}}{{B}_{\rm{S}}}({a}_{8}{k}_{1}+{a}_{9}{k}_{2})。 \end{array} \right\}$

(7b)

式中： ${a_j}$ 为未知常数， $j = 1\sim 9$ 。

由图 1可看出，半空间表面的边界条件及荷载作用平面处的连续条件可表示为

当 $z = 0$ 时，

$\left. \begin{array}{l} {\sigma }_{zz}(x, y, 0)=0\text{, }\ \\ {\tau }_{xz}(x, y, 0)=0\text{, }\ \\ {\tau }_{yz}(x, y, 0)=0。 \end{array} \right\}$

(8)

当 $z = h$ 时，

${\sigma _{zz}}(x, y, {h_ + }) - {\sigma _{zz}}(x, y, {h_ - }) = F \text{, }\$

(9a)

${\tau _{xz}}(x, y, {h_ + }) - {\tau _{xz}}(x, y, {h_ - }) = 0 \text{, }\$

(9b)

${\tau _{yz}}(x, y, {h_ + }) - {\tau _{yz}}(x, y, {h_ - }) = 0 \text{, }\$

(9c)

${u_{zz}}(x, y, {h_ + }) - {u_{zz}}(x, y, {h_ - }) = 0 \text{, }\$

(9d)

${u_{xz}}(x, y, {h_ + }) - {u_{xz}}(x, y, {h_ - }) = 0 \text{, }\$

(9e)

${u_{yz}}(x, y, {h_ + }) - {u_{yz}}(x, y, {h_ - }) = 0 。$

(9f)

观察式（7）~（9）可看到，边界条件个数与连续条件个数之和等于未知数个数，故可进行求解。

对边界条件与连续条件进行傅里叶变换后，将式（6a）~（6d）代入，可得到一组关于未知系数 ${a_j}$ 的线性方程组： ${A_{ij}}{a_j} = {f_i}$ ，其中矩阵 ${A_{ij}}$ 与 ${f_i}$ 的表达式见附录1。求得未知系数 ${a_j}$ 后，代入位移表达式, 即可得到变换域内的位移响应解 ${\text{\{ }}{\widehat {\overline{\overline u} }_x}, {\widehat {\overline{\overline u} }_y}, {\widehat {\overline{\overline u} }_z}{\text{\} }}$ 。由Fourier逆变换即可求得稳态响应的表达式：

$\begin{array}{l} \left\{ {{u_x}} \right., {u_y}, {u_z}\} = \frac{1}{{{{(2{\rm{ \mathsf{ π}}} )}^3}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{{\text{ + }}\infty } {\delta ({\omega _0} + \omega + c{k_1}){\text{\{ }}{{\widehat {\overline{\overline u} }}_x}, {{\widehat {\overline{\overline u} }}_y}, {{\widehat {\overline{\overline u} }}_z}{\text{\} }}} } } \cdot \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_1}x}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_2}y}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}{\rm{d}}{k_1}{\rm{d}}{k_2}{\rm{d}}\omega 。 \end{array}$

(10)

3. 数值计算与对比验证

为考虑土体的黏滞性，引入如下黏滞阻尼模型： ${\lambda ^{\text{*}}}{\text{ = }}\lambda (1{\text{ + 2}}i\beta )$ ， ${\mu ^{\text{*}}}{\text{ = }}\mu (1{\text{ + 2}}i\beta )$ ，其中 $\beta$ 为土体介质的黏滞阻尼比。由于式（10）中的动力响应解为无穷积分形式，且其被积函数为一个复杂的振荡函数，故采用IFFT方法进行求解。

3.1 对比验证

当h=0时，本文解可退化为移动荷载作用在黏弹性半空间表面的动力响应解。Hung等^[2]研究了黏弹性半空间在不同类型的地表移动荷载作用下的动力响应。土体参数取值密度 $\rho = 2000{\text{ }}{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}$ ，泊松比 $\nu = 0.25$ ，阻尼比 $\beta = 0.02$ ，横波波速 ${c_{\rm{s}}} = 100{\text{ }}{\rm{m/s}}$ ，纵波波速 ${c_{\rm{p}}} = 173.2{\text{ }}{\rm{m/s}}$ ，表面波波速 ${c_{\rm{R}}} = 92{\text{ }}{\rm{m/s}}$ 。定义观察点 $(x, y, z) = (0, 0, {z_0})$ （其中 ${z_0} = 1{\text{ }}{\rm{m}}$ ）处的无量纲化竖向位移 $V = 2{{\rm{ \mathsf{ π}}}}\mu {z_{\text{0}}}{u_z}/p$ ，无量纲化水平纵向位移 $W = 2{\rm{ \mathsf{ π}}} \mu {z_{\text{0}}}{u_x}/p$ 。为荷载移动速度 $c = 50{\text{ }}{\rm{m/s}}$ 时，本文位移响应退化解与Hung等^[2]结果的对比图，可见两者吻合得较好。

图 2 本文退化解与Hung等^[2]的对比图

Figure 2. Comparison between degenerated solutions and results of Hung et al^[2]

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3.2 数值算例分析

定义无量纲位移 $u_x^* = {{{u_x}\lambda {l_0}} / p}$ ， $u_z^* = {{{u_z}\lambda {l_0}} / p}$ ，其中 ${l_0}$ 为特征长度（ ${l_0} = 10{\text{ }}{\rm{m}}$ ）。土体Lame常数 $\lambda = 2 \times {10^7}{\text{ }}{\rm{N}}/{{\rm{m}}^2}$ ， $\mu = 2 \times {10^7}{\text{ }}{\rm{N}}/{{\rm{m}}^2}$ ，土体密度 $\rho =$ $2000{\text{ }}{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}$ ，黏滞阻尼比 $\beta = 0.02$ ，移动荷载幅值 $p = 1{\text{ }}{\rm{N}}$ 。下面分析埋置移动点荷载作用下黏弹性半空间地表的振动情况。

（1）地表竖向位移响应分布

引入移动坐标系 ${x_t} = x - ct$ 。给出了不同速度的埋置移动荷载作用下，地表无量纲竖向位移 ${u_z}^*$ 在移动坐标系下的曲线分布图，其中 $y = 0$ ，移动荷载埋深分别取h为10，15，20 m。由可看到，地表竖向位移响应关于 ${x_t} = 0$ 基本呈轴对称分布，且荷载埋深越深，振动沿水平方向衰减越快，振动影响范围越小，地表振动幅值越小。此外，对比图 3（a），（b）可发现，荷载速度越大，地表最大竖向位移幅值也越大。

图 3 地表竖向位移

${u_z}^*$

Figure 3. Vertical displacements of surface

${u_z}^*$

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（2）地表纵向位移响应分布

在埋置移动荷载作用下，地表不仅会产生竖直方向的振动，也会产生水平方向的动力响应。为当荷载埋深 $h = 10{\text{ }}{\rm{m}}$ 时，地表 $x$ 方向的纵向水平位移响应沿移动坐标 ${x_t}$ 的分布图。由图 4可看到埋置移动点荷载作用下，地表纵向水平位移响应曲线关于移动坐标轴呈反对称分布，且垂直于荷载移动方向，距离荷载作用位置越远，即y值越大，纵向水平位移越小；对比图 4（a），（b）可看出，随荷载速度增大，纵向水平位移幅值降低。同时，对比图 3，4可看出，同一埋置荷载作用下，地表土体竖向位移响应幅值远大于纵向水平位移响应幅值，这与实测地面振动规律吻合^[17]。

图 4 地表纵向位移

$u_x^*$

Figure 4. Longitudinal displacements of surface

$u_x^*$

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（3）地表位移响应的频谱分析

由式（10）可得原点 $(0, 0, 0)$ 处的竖向位移响应表达式为

$\begin{array}{l} {u_z}(0, 0, 0, t) = \frac{1}{{{{{\text{(}}2{{{\rm{ \mathsf{ π}}} )}}}^2}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{{\text{ + }}\infty } {{{\widehat {\overline{\overline u} }}_z}} ({k_1}, {k_2}, 0, - ct - {\omega _0})} \cdot\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_1}(x - ct - {\omega _0})}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_2}y}}{\rm{d}}{k_1}{\rm{d}}{k_2} 。 \end{array}$

(11)

则该点处的竖向振动频谱可表示为

$\begin{array}{l} {u_z}(f) = \int_{ - \infty }^{{\text{ + }}\infty } {{u_z}(0, 0, 0, t){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}2{\rm{ \mathsf{ π}}} ft}}} {\rm{d}}t\\ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π}}} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\widehat {\overline{\overline u} }}_z}\left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π}}} {f_0} - 2{\rm{ \mathsf{ π}}} f}}{c}, {k_2}, 0, 2{\rm{ \mathsf{ π}}} f} \right)} {\rm{d}}{k_2} 。 \end{array}$

(12)

同理可得原点处的水平位移频谱表达式 ${u_x}(f)$ 。

图 5给出了两种不同速度的常值移动荷载（h=10 m）作用下，地表原点处竖向位移与水平纵向位移响应的频谱图。可看到，当荷载速度较小时，位移频谱主要分布在频率较低的范围内，且竖向位移与水平位移几乎在同一频率达到峰值。当荷载速度变大时，位移频谱曲线的频率分布范围变大，位移幅值也增大，位移峰值所对应的频率也越大。

图 5 地表位移频谱图

Figure 5. Displacement spectra of surface

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4. 结论

采用傅里叶变换及Helmholtz分解的方法对埋置移动荷载作用下弹性半空间地基的动力响应进行理论求解，并通过数值计算，分析了荷载埋深、速度等因素对地表位移响应的影响，得到3点结论。

（1）移动荷载埋深越深，地表水平位移与竖向位移响应均越小；荷载移动速度越大，地表竖向位移响应幅值越大，纵向水平位移反而越小。

（2）垂直于荷载移动方向，距离荷载作用位置越远，地表水平位移响应越小。

（3）埋置荷载移动速度越大，位移响应频谱分布范围越大，位移幅值峰值对应的频率也越大。

图 1 加载系统实物图

Figure 1. Diagram of loading system

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图 2 桩的布置及现场加载实物图

Figure 2. Layout of piles and on-site loading

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图 3 水平位移幅值曲线

Figure 3. Curves of horizontal displacement amplitude

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图 4 竖向位移幅值曲线

Figure 4. Curves of vertical displacement amplitude

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图 5 单桩和群桩的水平刚度随着频率的变化规律

Figure 5. Variation of horizontal stiffness of single pile and pile groups with vibration frequency

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图 6 单桩和群桩竖向刚度随着频率的变化规律

Figure 6. Variation of vertical stiffness of single pile and pile groups with vibration frequency

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图 7 水平群桩动力效率系数随着频率的变化规律

Figure 7. Variation of horizontal dynamic efficiency coefficient of pile groups with vibration frequency

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图 8 竖向群桩动力效率系数随着频率的变化规律

Figure 8. Variation of vertical dynamic efficiency coefficient of pile groups with vibration frequency

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表 1 土层力学参数

Table 1 Mechanical parameters of soil layers

层号	含水率w/%	相对质量密度G_s	重度γ /(kN·m^-3)	干重度γ_d/(kN·m^-3)	孔隙比e	塑性指数I_P	液性指数I_L
2-2	42.3	2.73	17.4	12.2	1.20	15.2	1.21
2-3	26.2	2.69	18.5	14.7	1.00	8.0	0.78

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