0.   引言

道路结构在重复的交通荷载作用下，不可恢复的塑性应变会随着交通荷载的反复作用而累积，地基会产生难以预测的长期沉降，甚至引起道路结构的破坏，从而影响行车的舒适性和安全性。因此，在进行道路结构设计时，需要确定一个极限荷载以保证道路结构在荷载循环作用后始终处于稳定状态。然而，仅考虑道路结构的弹性响应来确定极限荷载偏于保守，不能考虑材料的塑性行为，也无法准确预测道路结构的长期稳定性。针对此问题，安定下限分析是一种实用且合理的解决方案，它能通过探索弹塑性结构的临界点来预测循环荷载作用下结构的长期塑性行为^[1]。通过安定下限分析可以计算出安定极限的下限值，弹塑性结构的安定下限解通常小于塑性极限且大于弹性极限，因此采用静力安定理论对道路结构进行安定下限分析可在一定程度上考虑材料的塑性行为，使得道路结构的设计在安全性和经济性上都较为均衡^[2]。

1938年Melan^[3]提出的静力安定理论和1960年Koiter^[4]提出的上限安定理论构成了安定性理论的研究基础。近些年来，在岩土工程与交通工程研究领域，基于安定性理论的道路工程设计方法受到了广泛的关注^[5]。

1984年，Sharp等^[6]首次将静力安定定理应用到道路工程中，将三维道路结构简化成二维平面应变问题并求解其安定极限。后来，许多学者开始对三维模型的安定极限求解方法进行探索，Shiau等^[7]尝试将静力安定定理应用到三维模型来求解安定极限，Yu等^[8-9]给出了三维赫兹荷载作用下黏性摩擦材料的安定极限解析解，这种解析方法为移动交通荷载作用下的道路设计奠定了理论基础。之后Wang等^[10-11]和Liu等^[12]进一步研究了路面摩擦系数、材料的非各向同性以及不同的塑性流动准则对安定极限的影响，还考虑了道路结构的分层情况对道路安定极限的影响。

实际上，荷载移动速度引起的动力响应与速度大小具有一定相关性，在以往的静态安定分析中没有考虑到这一点。因此，王永刚等^[5]，Qian等 ^[13-14]用数值方法建立道路结构的FE-IE模型并进行动态安定分析，他们深入研究了荷载移动速度对安定极限的影响。除了道路工程以外，Zhuang等^{[1, 15-16]}还将安定理论应用到高速铁路路基，通过安定分析的方法对列车荷载作用下的铁路路基进行设计和安全评价。然而，早期关于道路结构和铁路路基的安定性分析都将地基土视为单相弹性介质，没有考虑饱和地基土中液相的影响，实际上饱和土中流体扩散与土骨架变形之间的耦合作用不可忽略，于是Lu等^[17]结合Biot多孔介质动力学理论^[18]建立了双层的道路结构模型，并结合传递矩阵法推导了层状饱和路基的动应力解析解，考虑饱和土的总应力场，对路面系统的安定状态进行估计，分析了荷载移动速度、饱和土渗透性以及路面层与地基的强度比和模量比对安定极限的影响。

目前，关于道路安定性分析的研究大多是针对柔性路面，并将柔性路面层与下层土体视为同类型材料进行分析，很少有针对刚性路面的道路安定性的研究，而且在实际工程中刚性路面与路基的材料属性差别很大，此时将道路结构中路面层和路基作为同类型的材料考虑是不合理的。对于饱和土而言，考虑饱和土的有效应力比考虑其总应力更能充分反映土骨架的受力状态，有利于更准确地预测包含饱和土层的层状道路结构的长期稳定性。此外，受到路面不平顺性和车辆行驶的固有频率等因素的影响，交通荷载通常都具有一定的频率，关于移动交通荷载的荷载频率对道路安定性的影响的研究尚属空白。

本文采用底部为基岩的层状饱和多孔介质模型来模拟移动荷载作用下的层状道路结构，针对不同基岩深度都具有广泛适用性。而且考虑了道路结构中饱和土层的有效应力场，针对饱和土将静力安定理论进行了一定的改进。分别研究了荷载移动速度、荷载频率以及路面层刚度对层状道路结构的有效安定极限和有效临界深度的影响规律。

1.   静力安定分析理论

Melan^[3]的静力安定定理指出：如果能够找到一个与时间无关且自相平衡的残余应力场$\sigma _{ij}^{\text{r}}$，它与由外荷载所引起的弹性应力场$\sigma _{ij}^{\text{e}}$共同组成的应力系统处处满足材料的屈服准则，则结构是安定的^[2]。此时，静力安定理论可表示为

式中，λ为无量纲因子，$f(\sigma _{ij}^{})$≤0为材料的屈服准则。

由静力安定定理可知，求解安定极限的关键在于构造出一个自相平衡的残余应力场，而且构造出的残余应力场与真实的残余应力场越接近，得到的安定极限就越准确^[2]。

对于饱和土而言，考虑由外荷载所引起的有效应力场比考虑由外荷载所引起的弹性应力场（总应力场）更能充分反映土骨架的受力状态，更有利于预测道路结构的长期稳定性。所以，由饱和多孔介质的有效应力场${\sigma '_{ij}}$和残余应力场$\sigma _{ij}^r$组成的应力系统时，静力安定理论可表示为

为了与传统的安定极限进行区分，此时得到的安定极限λ′称为有效安定极限。由于三维问题的应力场较为复杂，在求解安定极限时存在一些困难。为了简化三维问题，可参考Yu^[8]提出的静力分析方法，在施加对称的移动荷载时更多地关注xoz平面，在xoz平面上，由于应力自平衡条件和边界条件的限制，残余应力$\sigma _{zz}^r$和$\sigma _{xz}^r$不存在，岩土材料通常采用Mohr-Coulomb屈服准则，中主残余应力$\sigma _{yy}^r$的影响可以忽略。因此，残余应力$\sigma _{xx}^r$是唯一影响安定极限的非零残余应力^[9]，考虑有效应力场时，Mohr-Coulomb屈服准则可表示为

式中，c′为材料的有效黏聚力，φ′为材料的有效内摩擦角。

式（3）可进一步简化为

式中，

若式（4）成立，必然要满足N≤0，即满足：

此外，残余应力场与荷载的移动方向（x方向）无关，只需要考虑残余应力$\sigma _{xx}^r$的影响，而且同一深度处（z=j）的残余应力$\sigma _{xx}^r$不随时间变化，所以残余应力应该处于以下范围^[19]：

当某一深度处的一点达到临界状态时，必然满足$\mathop {\max }\limits_{z = j} ( - {M_i} - \sqrt { - {N_i}} ){\text{ = }}\mathop {\min }\limits_{z = j} ( - {M_i} + \sqrt { - {N_i}} )$，此时的临界位置所对应的深度称为临界深度。

结合以上分析可知：有效安定极限的求解过程转化成了残余应力场的优化问题。本文将Qian等^[14]提出的二分法程序进行一定的改进（图 1），并将其应用到有效安定极限的求解过程。

图  1  确定有效安定极限的流程图

Figure  1.  Flow chart for determining effective shakedown limit

下载: 全尺寸图片 幻灯片

以上求解方法不仅适用于单层的道路结构，也适用于层状道路结构的有效安定极限求解，对于层状道路结构，先计算每一层的有效安定极限，其最小值为层状道路结构最终的有效安定极限^[10]。

式中，$\lambda_{\mathrm{sd}}^{j^{\prime}}$为道路结构中第j层的有效安定极限，${\lambda '_{{\text{sd}}}}$为层状道路结构的有效安定极限。

2.   控制方程和求解过程

2.1   层状饱和多孔介质的求解

Biot提出的饱和土理论^[18]中多孔介质的本构方程为

Biot饱和多孔介质的有效应力为^[18]

式中，u_i，w_i为土骨架的平均位移和孔隙流体的渗透位移，ε_ij，e为应变张量和土骨架的体积应变，e=u_{i, i}，θ为流体的体积应变， θ=-w_{i, i}，${\sigma _{ij}}$为多孔介质的总应力，${\sigma '_{ij}}$为多孔介质的有效应力，p_f为孔隙水压力，${\delta _{ij}}$为Kronecker delta符号。此外，λ，μ为固体骨架的Lame常数，α，M为Biot参数，其取值与饱和多孔介质的可压缩性有关。

多孔饱和介质的动力基本方程可表示为^[18]

式中，$\rho = {\text{(1}} - \phi {\text{)}}{\rho _{\text{s}}} + \phi {\rho _{\text{f}}}$，$m{\text{ = }}{\alpha _\infty }{\rho _{\text{f}}}/\phi$。其中，ρ_s，ρ_f为多孔介质中土骨架的密度和孔隙水的密度，ρ为多孔介质的总密度，φ为多孔介质的孔隙率，α_∞为多孔介质弯曲系数，b_p=η/k，η，k为孔隙介质的黏性系数和渗透系数。

为了得到物理域中Biot方程的通解，涉及到多重傅里叶积分变换，本文对时间和两个水平方向坐标的傅里叶变换及其逆变换定义为

结合三重傅里叶积分变换和Holmholtz矢量分解可得变换域内饱和多孔介质的位移解和应力解^[20]：

式中，A，B，C，D，E，F，G，H为关于ξ_x，η_y，ω的函数，其值由每一层多孔饱和介质的边界条件确定，且Re($\gamma _{\text{f}}^{}$)≥0，Re($\gamma _{\text{s}}^{}$)≥0，Re($\gamma _{\text{t}}^{}$)≥0。其中，$\gamma _{{\text{f,s}}}^{\text{2}} = \xi _{_x}^2 + \eta _{_y}^2 - k_{{\text{f,s}}}^{\text{2}}$，$\gamma _{\text{t}}^{\text{2}} = \xi _{_x}^2 + \eta _{_y}^2 - k_{\text{t}}^{\text{2}}$，$k_{\text{t}}^{\text{2}}{\text{ = }}\frac{{{\beta _{\text{3}}}}}{\mu }$，$k_{{\text{f,s}}}^2{\text{ = }}\frac{{{\beta _4}{A_{{\text{f,s}}}} + {\beta _5}}}{{{A_{{\text{f,s}}}}}}$，${\beta _{\text{1}}}{\text{ = }}m{\omega ^2} - {\text{i}}\omega {b_{\text{p}}}$，${\beta _{\text{2}}}{\text{ = }}\alpha - {\rho _{\text{f}}}\frac{{{\omega ^2}}}{{{\beta _1}}}$，${\beta _{\text{3}}}{\text{ = }}\rho {\omega ^2} - \rho _{\text{f}}^2\frac{{{\omega ^4}}}{{{\beta _1}}}$，${\beta _{\text{4}}}{\text{ = }}\frac{{{\beta _1}}}{M}$，${\beta _{\text{5}}}{\text{ = }}\alpha {\beta _{\text{1}}} - {\rho _{\text{f}}}{\omega ^2}$。

A_f，A_s可由下式确定：

2.2   移动荷载作用下的层状道路结构模型

为了突出层状道路结构中饱和土层对道路结构安定性的影响，将复杂的道路结构简化为包含道路面层、道路基层、路基层和地基层的层状道路结构（图 2），假设道路表面完全透水（即p_f=0），且道路结构的各个结构层之间完全紧密接触。其中道路面层和道路基层用单相弹性介质模拟，当多孔饱和介质退化成单相弹性介质时，饱和多孔介质的参数M，α，φ，α_∞，b_p，ρ_f取0.0001。饱和路基层和饱和地基层采用饱和多孔介质来模拟。

图  2  道路结构示意图

Figure  2.  Diagram of road structure

下载: 全尺寸图片 幻灯片

Hallonborg^[21]指出：交通荷载的形式与轮胎形状、充气压力以及路面材料参数密切相关，矩形均布荷载是对路面上的移动交通荷载进行数学建模时的常用形式。因此，在本文中不考虑移动荷载对路面层产生的剪应力，假设一个矩形简谐荷载沿着x轴的正方向以速度v作用在层状道路结构第一层的上表面（图 3），考虑简谐荷载对层状道路结构的作用，在第一层的上边界（z=z₀处）的边界条件为^[22]

图  3  层状饱和多孔介质计算模型

Figure  3.  Computational model for layered saturated porous media

下载: 全尺寸图片 幻灯片

式中，p₀是法向荷载的幅值，ω₀是移动荷载的角频率(${\omega _0}$=2πf)，H(…)为Heaviside函数，v为荷载移动速度，2a，2b为矩形荷载的长度和宽度。

对式（15）进行傅里叶变换可得

在层间界面z=z_j处，位移u_x，u_y，u_z，w_z，孔隙水压p_f和应力σ_xz，σ_yz，σ_zz要满足连续条件。因此，在每个层间界面（z=z_j处）满足以下8个连续性条件^[22]：

当层状多孔饱和介质覆盖在表面完全不透水的刚性基岩上，第N层多孔饱和介质的下边界（z=z_N处）的边界条件为^[22]

由上面的分析可知，对于每个饱和多孔介质层，有8个待定系数A，B，C，D，E，F，G，H。因此，对于底部为基岩的N层饱和多孔介质有8N个未知数有待确定，通过8(N-1)个层间界面连续性条件和8个边界条件可以求得8N个待定系数。

3.   数值积分方法与验证

通过边界条件和层间连续条件求得N层饱和多孔介质的8N个待定系数后，利用三重傅里叶逆变换可以得到层状饱和多孔介质在时间–空间域内的解，本文通过MATLAB编程进行数值积分求解来实现傅里叶逆变换，从而获得任意深度处的时间–空间域内的应力场^[22]。

为了验证本文数值方法的有效性和准确性，将底部为基岩的层状饱和多孔介质模型退化为层状半空间饱和多孔介质（图 4），并分析计算三维均匀饱和地基在不同荷载移动速度下的安定极限，土体的内摩擦角φ分别取0°，15°和30°，并与文献[17]得到的结果进行对比验证（图 5）。

图  4  层状半空间计算模型

Figure  4.  Computational model for layered half space

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  5  本文计算结果与文献[17]对比

Figure  5.  Comparison between calculated results and Reference[17]

下载: 全尺寸图片 幻灯片

为了模拟文献[17]中的三维均匀饱和地基，图 4中每一层饱和多孔介质都取用文献[17]中的参数，层状半空间饱和地基退化为三维均匀饱和地基，第N层饱和多孔介质底部的边界条件为无限半空间条件，对于第N层，满足A=C=E=G=0^[17]。

退化的层状半空间饱和多孔介质的材料参数和荷载参数与文献[17]一致，图 4所示的计算模型中的荷载参数：P₀=50 kPa，2a=1.0 m，2b=1.0 m，f=0 Hz。每一层饱和多孔介质的参数：μ=2.0×10⁷ N/m²，λ=4.0×10⁷ N/m²，M=2.4×10⁸ N/m²，α=0.97，φ=0.4°，ρ_s= 2.0×10³ kg/m³，ρ_f=1.0×10³ kg/m³，α_∞=1.0，b_p= 1.94×10⁶ Ns²/m³。

通常，安定极限由无量纲安定乘子λ_sdp₀/c来表示，其中c为材料的黏聚力；有效安定极限由无量纲安定乘子λ′_sdp₀/$c'$来表示，其中$c'$为饱和土的有效黏聚力。

由图 5可知，考虑移动荷载作用下饱和土的总应力场时，本文的计算结果与文献[17]的结果基本一致，验证了本文数值方法的有效性，也表明本文安定极限求解方法是正确的。

4.   结果及分析

4.1   荷载移动速度对安定极限的影响

在道路结构施工时，路基填筑经历了夯实和反复碾压的工序，说明饱和路基土和饱和地基土在历史上受到过比现有自重压力更大的固结压力，因此在道路服役期可以将饱和路基土和饱和地基土视为超固结黏土或击实黏土。对于超固结黏土和击实黏土，通常其有效黏聚力c′小于黏聚力c，其有效内摩擦角φ′大于内摩擦角φ，但是具体的大小关系与土体的应力历史有关，可通过固结不排水试验得到饱和黏土的有效应力路径，从而确定其有效强度指标c′，φ′^[23]。

下面将分析不同的荷载移动速度v对层状道路结构（图 2）安定极限的影响，参数选取见第3节和表 1，其中矩形荷载的长度和宽度的参数选取参考文献[17]。下部饱和路基和饱和地基的内摩擦角φ分别取10°，20°，30°，40°，饱和路基和饱和地基的黏聚力c取20 kPa，有效黏聚力$c'$取0.8c，有效内摩擦角φ′取1.2φ。并将有效安定极限与考虑总应力的安定极限求解方法^[17]得到的安定极限进行对比。

表  1  层状道路结构的物理力学参数

Table  1.  Physical and mechanical parameters of layered road structures

道路结构	μ/(N·m-2)	λ/(N·m-2)	M/(N·m-2)	α	ϕ	ρs/(kg·m-3)	ρf/(kg·m-3)	α∞	bp/(N·s2m-3)	H/m	c/kPa	$c'$/kPa	$\varphi$/(°)	$\varphi$′/(°)
道路面层	50.0×107	33.30×107	1.0×10-4	1.0×10-4	1.0×10-4	2.5×103	1.0×10-4	1.0×10-4	1.0×10-4	0.2	1000	—	30	—
道路基层	20.0×107	30.00×107	1.0×10-4	1.0×10-4		2.0×103	1.0×10-4	1.0×10-4	1.0×10-4	0.2	400	—	30	—
路基	1.0×107	2.33×107	2.4×108	9.7×10-1	4.0×10-1	2.0×103	1.0×103	1.0	2.0×108	5.0	20	16	10~40	12~48
路基	2.0×107	4.67×107	2.4×108	9.7×10-1	3.0×10-1	2.0×103	1.0×103	1.0	2.0×108	10.0	20	16	10~40	12~48

下载: 导出CSV 

| 显示表格

为了方便观察荷载移动速度的影响，定义临界剪切波速为v_SH ^[24]，图 6~9中v_SH为图 2中饱和路基层的剪切波速，并对荷载移动速度v进行无量纲化：

图  6  荷载移动速度对安定极限的影响

Figure  6.  The influence of load moving speed on shakedown limit

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  7  荷载移动速度对有效安定极限的影响

Figure  7.  Influences of load-moving speed on effective shakedown limit

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  8  荷载移动速度对临界深度的影响

Figure  8.  The influence of load moving speed on critical depth

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  9  荷载移动速度对有效临界深度的影响

Figure  9.  The influence of load moving speed on effective critical depth

下载: 全尺寸图片 幻灯片

从图 6可以看出：当荷载移动速度小于1.1v_SH时，有效安定极限与考虑总应力的安定极限求解方法得到的安定极限有明显差异，但两者都随荷载移动速度的增加而持续减小。而且在荷载移动速度较小时，有效安定极限大于考虑总应力的安定极限；在荷载移动速度较大时，有效安定极限小于考虑总应力的安定极限。当荷载移动速度大于1.1v_SH时，有效安定极限与考虑总应力的安定极限较为接近，且安定极限值会随荷载移动速度的增大而发生小幅度波动变化，最终趋于稳定。

通过图 7可以看出：当荷载移动速度小于1.1v_SH时，有效内摩擦角越大则有效安定极限越大，而且不同的有效内摩擦角对应的有效安定极限之间的差值随着荷载移动速度的增大而减小。当荷载移动速度大于剪切波速时，不同的有效内摩擦角对应的有效安定极限都较为接近，这是由于荷载移动速度在大于剪切波速时，土体的动力响应会急剧增大，而且剪应力的变化幅度较正应力而言更加显著^[25]，此时剪应力对安定状态的影响占主导作用，从而导致不同的有效内摩擦角条件下的有效安定极限差异很小，此时有效内摩擦角对有效安定极限影响不大。

经过以上分析可知：本文提出的有效安定极限与考虑总应力的安定极限求解方法得到的安定极限有明显差异，在荷载移动速度较大时，有效安定极限的求解方法是偏于保守和安全的，更适用于包含饱和土层的层状道路结构设计和安全评价。

4.2   荷载移动速度对临界深度的影响

本文中临界深度皆以道路面层的顶面为基准面，为了方便区分，将采用本文的安定分析方法计算得到的临界深度定义为有效临界深度。

由图 8可知：当荷载移动速度小于剪切波速且大于0.6v_SH时，有效临界深度比考虑总应力的安定分析方法得到的临界深度要大，此时达到安定状态的临界位置更深，且两者的差值随着荷载移动速度的增大而减小。对于不同的内摩擦角，当荷载移动速度较小时，考虑总应力与考虑有效应力计算得到的临界深度差别很小，两者计算得到的临界深度基本一致。此外，可以看出有效内摩擦角和荷载移动速度对有效临界深度的影响较大。

对图 9进行分析可得：当有效临界深度处于饱和路基层且荷载移动速度小于剪切波速时，不同的有效内摩擦角对应的有效临界深度都随荷载移动速度的增加而减小。当荷载移动速度小于剪切波速且大于0.6v_SH时，有效临界深度随着有效内摩擦角的增大而逐渐增大。当荷载移动速度大于剪切波速小于1.2v_SH时，有效临界深度随荷载移动速度的增大而逐渐减小，此时有效临界位置更接近路基表面。

4.3   道路面层刚度对有效安定极限的影响

在图 10，11中，荷载移动速度分别取0.651v_SH和1.101v_SH，道路面层的μ，λ的选取见表 1，通过下式可以计算得到道路面层的杨氏模量：

图  10  道路面层刚度对有效安定极限的影响

Figure  10.  The influence of pavement stiffness on effective shakedown limits

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  11  道路面层刚度对有效临界深度的影响

Figure  11.  The influence of pavement stiffness on effective critical depth

下载: 全尺寸图片 幻灯片

从图 10可以看出：对于不同的有效内摩擦角，随着道路面层刚度的增大，层状道路结构的有效安定极限均会逐渐增大；道路面层刚度相同时，有效内摩擦角越大，有效安定极限越大。因此，在进行道路结构设计时，可以通过调整路面层的刚度来改变层状道路结构的安定极限状态，从而实现道路结构的优化设计。

4.4   道路面层刚度对有效临界深度的影响

由图 11可知：针对不同的有效内摩擦角，层状道路结构的有效临界深度均会随着路面层刚度的增大而逐渐增大，不安定状态更容易发生在路基较深处。此外，当路面层刚度相同时，有效内摩擦角越大，则有效临界深度越大。所以在进行路基加固处理时，对于刚性路面和柔性路面，由于其路面层的刚度不同，对路基土的加固深度需要根据道路面层的刚度进行合理调整。

4.5   荷载频率对有效安定极限的影响

在研究荷载频率对有效安定极限和有效临界深度的影响时，为了确定道路工程中交通荷载的频率范围，参考了相关规范^[26]，将移动荷载频率范围取为0~30 Hz。

图 12，13中荷载移动速度取0.565v_SH。当荷载频率小于5 Hz时，不同的有效内摩擦角对应的有效安定极限随荷载频率的增加而减小；当荷载频率大于5 Hz时，有效安定极限随荷载频率的增加而发生幅度逐渐减小的波动变化，最终趋于稳定。

图  12  荷载频率对有效安定极限的影响

Figure  12.  The influence of load frequency on effective shakedown limit

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  13  荷载频率对有效临界深度的影响

Figure  13.  The influence of load frequency on effective critical depth

下载: 全尺寸图片 幻灯片

当荷载频率小于5 Hz时，有效内摩擦角越大，对应的有效安定极限越大；当荷载频率大于25 Hz时，有效安定极限随荷载频率的增大而趋于稳定，此时土体内摩擦角越大，对应的有效安定极限越小。

4.6   荷载频率对有效临界深度的影响

由图 13可知：当荷载频率小于5 Hz时，有效内摩擦角的取值越大，有效临界深度越大。当荷载频率大于5 Hz时，由于荷载频率的变化引起了有效临界深度的波动，其有效临界深度出现在饱和路基的上表面附近，而且较大的有效内摩擦角对应的有效临界深度受荷载频率的影响更显著。

5.   结论

本文以Melan静力安定定理为基础，利用Biot饱和多孔介质动力学理论求解了受移动荷载作用的层状道路结构的动力响应，考虑由饱和多孔介质的有效应力场${\sigma '_{ij}}$和残余应力场$\sigma _{ij}^r$组成的应力系统，对现有的静力安定理论进行一定的改进，提出了有效安定极限的概念。

（1）当荷载移动速度较大时，本文提出的有效安定极限的求解方法相对于考虑总应力的安定极限求解方法是偏于保守的，而且比纯弹性状态的道路设计更加经济合理，更适用于包含饱和土层的层状道路结构设计，为交通荷载作用下的道路结构提供了更可靠的安全评价方法。

（2）当荷载移动速度小于剪切波速时，有效安定极限随着有效内摩擦角的增大而逐渐增大；当荷载移动速度大于剪切波速时，有效安定极限与考虑总应力的安定极限差别很小。

（3）当荷载移动速度小于剪切波速且大于0.6v_SH时，有效临界深度比考虑总应力的安定分析方法得到的临界深度更大，即达到安定状态的临界位置更深。

（4）在荷载移动速度一定时，层状道路结构的有效安定极限和有效临界深度会随着路面层刚度的增大而逐渐增大；路面层刚度相同时，有效内摩擦角越大，则有效安定极限的有效临界深度越大。因此，在实际工程中，可以通过调整路面层的刚度来调整层状道路结构的有效安定极限和路基加固深度，从而实现道路结构的优化设计。

（5）当荷载频率小于5 Hz时，同一荷载移动速度对应的有效安定极限随着荷载频率的增加而减小。此外，当荷载频率大于5 Hz时，荷载频率对有效临界深度的影响程度与有效内摩擦角的取值相关。