0.   引言

隧道工程为地下隐蔽工程，其受力及破坏过程复杂且难以观察。隧道失稳具有突发性，当体系达到失稳临界点时，微小扰动便可使隧道超过承载极限而失稳。隧道的极限承载及失稳临界点判定一直是隧道工程的重难点，受到国内外学者的重视。

目前国内外学者提出的隧道静力稳定性判定方法主要有极限位移（极限位移速率）法^[1-2]、变形速率拐点判定法^[3]、围岩强度准则判定法^[4]、围岩塑性区判定法（如强度折减法）^[5]、支护结构强度验算法^[6]、非连续介质数值模拟法^[7]以及基于非线性理论（如突变理论、耗散结构理论、混沌理论、加卸载响应比理论等）的判定方法^[8-9]等，以上各类方法均有利弊和适用条件。基于非线性理论的判定方法与隧道失稳特征相吻合，具有明确的物理意义，但目前相关研究还处于初期阶段。加卸载响应比理论是一种源自地震预测研究的非线性理论，其在地震预测以及滑坡、岩爆、水库地震、工程健康检测等灾害预测方面均有部分研究和应用。目前，加卸载响应比理论在隧道工程中也有初步探索，如祝方才等^[10-11]将加卸载响应比（loading unloading response ratio，以下简称LURR）理论初步引入到地下洞室的稳定性研究，分别基于模型试验和RFPA数值模拟方法初步证明了加卸载响应比（LURR）预判地下洞室稳定性的可行性；石崇等^[12]、杨继华等^[13]将加卸载响应比理论尝试性应用在隧道及地下工程动力稳定性分析中，其以地震波时程荷载作为加卸载方式，以响应位移、速度、加速度以及其相对值等作为加卸载响应参数，通过将地震波时程荷载离散化，并定义合理加卸载区间，进而以区间为单位进行加卸载响应比计算。目前，加卸载响应比在隧道工程中的研究很浅显，研究工况单一，无法确定其应用的普适性。

本文拟将加卸载响应比理论系统性的引入到隧道静力稳定性判定中，分析隧道稳定性与其加卸载响应比之间的关联性，进而提出基于加卸载响应比理论的隧道静力失稳的定量判定方法。

1.   加卸载响应比理论及其与隧道非线性的关联性

1.1   加卸载响应比理论

加卸载响应比理论（LURR）是尹祥础^[14]1984年提出，主要用于地震的预测研究，其主要思路是：基于非线性系统的失稳前兆（即系统在极其微弱的加载下产生巨大的响应），利用系统的加荷响应率与卸荷响应率的比值Y定量地描述非线性系统偏离稳定状态（或接近失稳状态）的程度。即对于非线性系统，荷载P与响应参量R之间的关系如图 1。定义响应率X为

图  1  非线性系统的本构关系

Figure  1.  Constitutive relationship for nonlinear system

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式中，$\Delta P$为荷载P的增量，$\Delta R$为荷载增量$\Delta P$作用下对应的响应增量。

定义加卸载响应比Y为

式中，${X_ + }$为加载响应率，${X_ - }$为卸载响应率。

加卸载响应比理论具有3个基本科学问题：如何实现加载和卸载、选取合适的加卸载响应参量和定义加卸载响应比LURR。

1.2   隧道非线性的加卸载响应比解析表达

极坐标系下，对称荷载作用下圆形无衬砌隧道（图 2）围岩变形的弹塑性解析表达式见式（3）^[15]：

图  2  圆形隧道弹塑性计算模型

Figure  2.  Elastic-plastic model for circular tunnel

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式中，${u^{\text{e}}}$为弹性阶段围岩位移，${r_0}$为隧道开挖半径，G为围岩平均剪切模量，${u^{\text{p}}}$为塑性阶段围岩位移，$c$、$\varphi$为围岩的黏聚力和内摩擦角，${R_0}$为围岩塑性区半径。

隧道失稳属于宏观现象，围岩变形为隧道力学特征的宏观表现，因此，通过变形作为加卸载响应参数直观且具有代表性。由于模型的对称性，取洞周围岩（$r = {r_0}$）的任意一个关键点变形作为加卸载响应参量，联立式（1）~（4）可得隧道在弹性和塑性阶段围岩变形的加卸载响应比表达式。

（1）弹性阶段

弹性阶段加载和卸载均为弹性表达式，联合式（2），（3）可得

（2）塑性阶段

塑性阶段，隧道洞周围岩的位移包含了弹性位移和塑性位移，采用塑性阶段的表达式。卸载过程中，只有弹性变形恢复，塑性变形不会恢复，采用弹性阶段的表达式。由式（2），（3）可得

对塑性阶段的加卸载响应比求导得

由于$P > 0$，$c > 0$，$0 < \varphi < {90^ \circ }$，因此

可见，在对称荷载作用下，圆形毛洞隧道围岩变形的加卸载响应比呈现如下规律：当隧道围岩处于弹性阶段时，加卸载响应比一直为1；当隧道围岩进入弹塑性阶段时，加卸载响应比大于1，且加卸载响应比的一阶导数大于0，即随着外部荷载的增加，加卸载响应比单调递增，直到失稳破坏。

1.3   算例验证

算例1：对于图 2模型，取半径为5.0 m的无衬砌圆形隧道，埋深100 m，围岩取Ⅴ级围岩，岩土层视为各向同性理想弹-塑性材料，弹性模量取1 GPa，泊松比取0.45，密度取1700 kg/m³，黏聚力取0.15 MPa，内摩擦角取18°。通过荷载等效，将模型等效为无限大平板中的孔口问题求解，模型四周施加同样大小的均布荷载P，P按照线性加载和循环扰动的叠加，以3个计算步为一个循环，每个循环包含1个卸载步和2个加载步，荷载示意见图 3。

图  3  加卸载示意

Figure  3.  loading and unloading

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式中，$A$为荷载变化率，取17 kPa，$t$为加载步，${{\rm{quotient}}} (t, 3)$函数为求商的整数部分，$\bmod (t, 3)$函数为求商的余数部分。

通过计算得到隧道加卸载响应比解析解和有限元解，如图 4。由图 4可见，有限元解和解析解结果近似。

图  4  加卸载响应比解析解与有限元解对比

Figure  4.  Comparison of LURR results between analytical solution and finite element solution

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1.4   基于加卸载响应比理论的隧道安全系数

通过加卸载响应比方法确定隧道失稳点的极限荷载${P_{\text{u}}}$后，即可通过式（10）确定隧道在任意荷载阶段的安全系数：

式中，${K_i}$为第$i$个荷载阶段的安全系数，${P_{\text{u}}}$为隧道承载极限，${P_i}$为第$i$个荷载阶段隧道承担的荷载。

2.   基于加卸载响应比理论的隧道施工稳定性判定方法研究

隧道工程在施工过程中主要承担岩土体开挖引起的围岩应力释放荷载。由于浅埋隧道和深埋隧道存在不同的受力机理，本节分别对浅埋和深埋隧道的施工稳定性展开研究。

2.1   隧道施工中的加卸载响应比三要素定义

（1）加卸载方式定义

隧道施工过程中承担的最主要的荷载及失稳诱导荷载均为围岩释放荷载。基于此，类似于算例1中的式（9），假定隧道开挖前洞室周边的初始应力为P₀，隧道开挖后随着围岩变形洞周释放荷载由100%按照每步1%的速率逐步释放到0，在该过程中增加一个循环扰动，以3个计算步为一个循环，每个循环包含2个荷载释放步和1个荷载回升步，每一步的变化率均为1%。即

式中，${P_0}$为隧道开挖前洞周初始应力，t为计算步。

（2）加卸载响应参数

结合隧道施工力学特性，确定隧道特征关键点的变形为加卸载响应参数：即拱顶（^#1）、拱腰（^#2）、拱脚（^#3）、边墙中点（^#4）、仰拱脚（^#5）、仰拱腰（^#6）、仰拱底（^#7）的变形，见图 5。

图  5  洞周关键点示意

Figure  5.  Key points around tunnel

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（3）加卸载响应比定义

定义加卸载响应比为后一个加卸载循环的第2个加载步响应除以前一个加卸载循环的卸载步响应：

式中，${u_{(i + 1, 2)}}$为第$i + 1$个循环的第2个计算步，${u_{(i, 3)}}$为第$i$个循环的第3个计算步。

2.2   隧道施工稳定性分析算例及计算条件

隧道施工稳定性分析中，隧道选取三心圆形式的毛洞，跨度15.58 m，高10.26 m，岩土层视为各向同性理想弹–塑性材料，服从扩展D-P准则。计算模型采用二维平面应变模型，围岩采用Plane182单元模拟。模型左右两侧边界施加水平约束，底部边界施加固定约束。具体算例见表 1，计算参数见表 2。

表  1  隧道施工稳定性计算算例

Table  1.  Examples of tunnel construction stability

算例号	隧道类型	围岩级别	埋深/m	模型尺寸/(m×m)
算例2	浅埋隧道	Ⅵ级	6.5	167.58×72.83
算例3	深埋隧道	Ⅴ级	96	167.58×162.33

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表  2  岩土体物理力学参数

Table  2.  Mechanical parameters of rock and soil mass

围岩	弹性模量/GPa	重度/(kN·m-3)	泊松比	黏聚力/MPa	内摩擦角/(°)
Ⅵ级	0.1	17.0	0.45	0.03	15.0
Ⅴ级	1.0	17.0	0.45	0.15	18.0

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施工过程模拟过程中，按照式（11）施加隧道洞周释放荷载P。

2.3   浅埋隧道加卸载响应比结果及其稳定性分析

通过有限元分析，当荷载释放到78%时，浅埋隧道（算例2）出现计算不收敛现象。得到洞周关键点变形的加卸载响应比结果如图 6。围岩塑性区及受力结果见图 7，8。

图  6  洞周关键点变形的加卸载响应比结果对比

Figure  6.  LURR results of deformation of key points around tunnel

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图  7  浅埋隧道在施工过程中的塑性区变化结果

Figure  7.  Plastic zones of shallow tunnel in tunnel construction

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图  8  浅埋隧道在施工过程中的剪切应力变化结果

Figure  8.  Shear stresses of shallow tunnel in tunnel construction

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由图 6~8可见：

（1）受到几何形状及竖向荷载因素的综合作用，浅埋隧道的局部薄弱区域为：①前期为边墙。边墙脚部位为曲率最大部位，有应力集中现象，边墙中点为前期受荷载最大部位；②后期为拱脚部位。随着荷载释放量的增加，拱顶上方围岩受力逐渐达到抗剪强度，拱脚出现塑性区贯通到地面的情况。

（2）施工过程中，浅埋无衬砌隧道的稳定性及其对应的加卸载响应比特性呈现4阶段变化规律：①LURR=1的弹性阶段（（0~30%）P₀）；②LURR＞1的边墙局部薄弱区的加卸载响应比缓慢稳定增长的浅层局部薄弱区承载的弹塑性阶段（（30%~55%）P₀）；③LURR＞1且边墙和拱顶区域的加卸载响应比增速不断增大，并逐渐超过了边墙区域的弹塑性阶段（（55%~70%）P₀），该阶段拱顶岩土体荷载主要由顶部岩土体承担，拱顶区域成为了控制隧道稳定性的新的局部薄弱区；④LURR＞1且隧道上半断面的拱顶、拱腰、拱脚、边墙中点变形的加卸载响应比突增到无限大阶段（（70%~78%）P₀），隧道承载机理变化，隧道围岩塑性区逐步向地表发展，并最终发展贯通到地表。

浅埋隧道失稳是由于浅埋隧道拱顶上部围岩无法承载导致隧道整体坍塌，表现为整体失稳，失稳与加卸载响应比突增到无限大同步。

2.4   深埋隧道加卸载响应比及其稳定性分析

通过有限元分析，当荷载释放到92%时，深埋隧道（算例3）出现计算不收敛现象。洞周关键点变形的加卸载响应比结果如图 9。围岩塑性区及受力结果见图 10~12。

图  9  洞周关键点变形的加卸载响应比结果对比

Figure  9.  LURR results of deformation of key points around tunnel

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图  10  深埋隧道在施工过程中的塑性区变化结果

Figure  10.  Plastic zones of deep-buried tunnel in tunnel construction

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图  11  深埋隧道在施工过程中的剪切应力变化结果

Figure  11.  Shear stresses of deep-buried tunnel in tunnel construction

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图  12  深埋隧道在施工过程中的压应力变化结果

Figure  12.  Compressive stresses of deep-buried tunnel in tunnel construction

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由图 9~12可见：

（1）深埋隧道的局部薄弱区域为仰拱脚及边墙区域。仰拱脚部位为曲率最大部位，有应力集中现象，边墙区域为受荷载最大部位。

（2）深埋隧道的施工稳定性及其对应的加卸载响应比特性呈现4阶段变化规律：①LURR=1的弹性阶段（（0~31%）P₀）；②LURR＞1的局部薄弱区的加卸载响应比低值增长的弹塑性阶段（（31%~63%）P₀），该阶段局部薄弱区围岩主要承载；③LURR＞1且局部薄弱区加卸载响应比的增速不断增大，非局部薄弱区加卸载响应比也逐渐增加阶段（（63%~80%）P₀），在该阶段末，局部薄弱区加卸载响应比突降，非局部薄弱区加卸载响应比的增速增加，出现非局部薄弱区加卸载响应比超过局部薄弱区，局部薄弱区失稳。该阶段局部薄弱区和非局部薄弱区共同承担荷载，承载区域向非局部薄弱区及深部围岩过渡，并逐渐达到深部围岩承载极限，洞口围岩拱顶和仰拱底形成应力相对弱化的拱形区域（该拱形区域内应力要比深部围岩应力值小）；④LURR＞1且局部薄弱区加卸载响应比无规则波动，非局部薄弱区加卸载响应比大幅度增大的失稳发展阶段（（80%~92%）P₀），洞周围岩形成了成型的应力相对弱化的拱形区域。在第③阶段末期局部薄弱区加卸载响应比出现的异常变形特性，可作为失稳前兆，该时刻后，隧道拱顶和仰拱底形成了成型的应力相对弱化的拱形区域，出现洞周围岩局部失稳和承载体系的变化，局部失稳点失稳后，失稳点的加卸载响应比因为承载体系变化出现回落，且局部失稳区域在失稳后，变形出现随变特性，方向的不可控性显示出明显的波动。

3.   基于加卸载响应比理论的运营隧道稳定性判定方法研究

在隧道运营期间，对隧道结构稳定性有影响的外部环境荷载有水压力荷载、地表堆载、临近施工荷载、冻胀力荷载、地质灾害（滑坡、落石等）荷载、地震荷载等。本节主要以地表堆载作用为例，研究浅埋运营隧道稳定性加卸载响应比判定方法。

3.1   地表堆载下隧道加卸载响应比三要素定义

（1）加卸载方式定义

在运营隧道围岩及衬砌的初始受力状态基础上，通过在地表逐级循环施加地表荷载来实现模型的加卸载过程。按照1 m的填土荷载为每步的荷载变化量逐步施加地表均布荷载，在该过程中增加一个循环扰动，以3个计算步为一个循环，每个循环包含2个加载步和1个卸载步，具体计算荷载如下所示：

式中，A为填土荷载变化率，取17 kPa。

（2）加卸载响应参数、加卸载响应比定义同2.1节。

3.2   地表堆载作用下隧道稳定性分析过程

在算例2基础上，增加二衬结构，假定二衬和围岩共同承担70%的围岩初始应力，不考虑初支结构。地表从拱顶一侧13.792 m范围内承担附加地面堆载，研究浅埋隧道在附加地表荷载作用下的稳定性。地表加卸载方式及加卸载响应参数示意见图 13。

图  13  地表加卸载方式及加卸载响应参数

Figure  13.  Surface loads and response parameters of LURR

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模型尺寸和岩土材料同算例2。二衬取C30钢筋混凝土结构，视为各向同性理想弹–塑性材料，弹性模量取31 GPa，泊松比取0.20，密度取2500 kg/m³，黏聚力取2.42 MPa，内摩擦角取54°。

计算过程：①隧道开挖施工过程。未开挖前的初始自重应力场模拟；全断面开挖，释放30%围岩压力荷载；施做二衬，释放剩余的70%围岩压力荷载。②隧道运营期地面附加堆载过程。按照式（16）的加卸载方式施加荷载。

通过加卸载有限元分析，当地表荷载施加到952 kPa时，出现计算不收敛现象。得到洞周关键点变形的加卸载响应比结果，如图 14。围岩及衬砌塑性区结果见图 15，16。

图  14  洞周关键点变形的加卸载响应比结果对比

Figure  14.  LURR results of deformation of key points around tunnel

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图  15  地表偏压堆载作用下隧道围岩的塑性区变化结果

Figure  15.  Plastic zones of surrounding rock of tunnel under surface load

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图  16  地表偏压堆载作用下隧道衬砌的塑性区变化结果

Figure  16.  Plastic zones of tunnel linings under surface loads

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由图 14~16可见：

（1）受到地表附加荷载及隧道几何形状的综合作用，地表附加荷载作用下的浅埋运营隧道的局部薄弱区域为：偏压荷载侧的拱脚及边墙区域（^#5点~^#9点）。

（2）地表附加偏压堆载作用下，浅埋运营隧道稳定性及其对应的加卸载响应比特性呈现3阶段变化规律：①加卸载响应比等速缓慢增长阶段（0~85 kPa），为完整的衬砌结构承载阶段，受力稳定。②各区域的加卸载响应比不等速缓慢增长阶段（85~459 kPa），总体来说，局部薄弱区域的加卸载响应比增速大于非局部薄弱区域。该阶段为带裂缝衬砌及围岩共同承载阶段，拱顶上方的围岩塑性区逐渐贯通到地表，围岩受力稳定性逐渐发展为局部不稳定，衬砌受力稳定。③非局部薄弱区加卸载响应比大幅度增加，其加卸载响应比超过了局部薄弱区，并在阶段末，出现突增到无限大特征阶段（459~748 kPa）。该阶段带裂缝衬砌达到极限承载状态，衬砌和围岩在受力方向形成了综合意义上的贯通塑性区，即围岩塑性区贯通地表，衬砌形成了3个贯通塑性铰，整个体系失稳。

4.   结论

论文基于加卸载响应比理论，通过解析法和有限元法，研究了各类典型荷载工况下隧道的加卸载响应比规律及其与隧道稳定性的关联性，得到以下结论：

（1）以隧道失稳诱导荷载为基础，由线性增加的失稳诱导荷载和循环扰动荷载的叠加构造加卸载方式，以隧道洞周变形为加卸载响应参量，以加卸载响应比变化规律的突增或回落波动等特征确定失稳临界点，形成隧道静力稳定性的加卸载响应比判定方法。

（2）基于加卸载响应比判定方法得到，隧道施工过程中呈现局部薄弱区弹性承载、局部薄弱区塑性承载、局部薄弱区和非局部薄弱区共同承载、局部失稳或整体失稳4个阶段。对应加卸载响应比呈现恒为1，大于1且缓慢稳定增长，增速增长且非局部薄弱区超过局部薄弱区，以及无限增大或波动变化等4种变化规律。其中浅埋隧道坍塌为整体失稳，加卸载响应比向无限大变化，深埋隧道为局部失稳，加卸载响应比呈现波动变化。

（3）运营隧道呈现衬砌稳定承载、带裂缝衬砌及围岩共同承载、带裂缝衬砌达到极限承载3个阶段。对应加卸载响应比等速缓慢增长，局部薄弱区增速快于非局部薄弱区的不等速缓慢增长，及非局部薄弱区加卸载响应比大幅度增加且超过了局部薄弱区大幅度突增等3种变化规律。加卸载响应比突增时，衬砌和围岩在受力方向形成了综合意义上的贯通塑性区，即围岩塑性区贯通地表，衬砌形成了3个贯通塑性铰，整个体系失稳。

（4）通过加卸载响应比方法确定隧道失稳点的极限荷载${P_{\text{u}}}$基础上，即可基于极限承载能力确定隧道在任意荷载阶段的隧道的安全系数。