0.   引言

地基上的道路路面、高铁轨道板、机场跑道等在热胀冷缩作用下会产生径向应力。通常,材料遇冷收缩,产生拉应力,遇热膨胀,产生压应力。对于以混凝土为建造材料的弹性板结构来说,其热胀冷缩效应更为明显,因为混凝土的极限拉应力约只有压应力的十分之一,过大的拉应力容易导致混凝土板开裂,从而影响板的正常使用。另一方面,车辆的行驶、高铁的运行、飞机的滑行等都会对混凝土板产生竖向动力作用,以致弹性板的变形规律在动荷载和径向应力的耦合作用下变得甚为复杂。目前,关于该状态下预应力弹性板的动力分析理论仍然非常缺乏,而且径向应力的存在对沉降变形的影响机理也缺少深入了解。因此,提出有效的分析方法揭示地基上预应力弹性板的动力特性,不仅有利于准确预测预应力弹性结构在动荷载作用下的变形规律,而且还能将该方法推广应用到工程实践中,具有一定的理论意义和工程应用价值。

针对地基上无预应力弹性板的振动问题,国内外学者已开展了一系列研究。Rajapakse^[1]采用经典薄板理论和位移格林函数,研究了圆环板的动力响应问题。Gucunski等^[2]应用能量法和环型单元法,探讨了地基上弹性圆板的竖向简谐振动。金波^[3]建立了弹性半空间地基与弹性圆板竖向相互作用的第二类Fredholm积分方程。Yu等^[4]对Winkler地基和Pasternak地基上Reissner-Mindlin板的瞬态响应进行了细致的研究。Chen等^[5]运用模态分析法评估了竖向动荷载作用下弹性圆板的动位移。张建辉^[6]基于无单元方法获得了双参数地基上矩形弹性板的挠度分布。王春玲等^[7]获得了非饱和地基与多层矩形板的稳态解。上述工作均以有限尺寸板为研究对象。

一般道路路面、机场跑道相对于荷载作用面积可看成是无限大板。针对地基上无限大弹性板的振动问题,学者们也做了大量工作。孙璐等^[8]和Kim等^[9]通过积分变换方法,分析了移动荷载对无限大弹性板的作用。鉴于积分变换方法带来的便利,越来越多学者^[10-14]结合经典薄板理论和积分变换方法来研究不同地基模型与无限大板的动力相互作用。然而,上述研究仍未考虑径向应力的耦合效应。通常,热胀冷缩引起的径向应力先于外荷载作用在弹性板上,因而引起的径向应力可称为预应力。目前,针对动荷载引起地基与预应力结构相互作用的分析极少。Kin等^[15]以列车在轨道上的行驶为研究背景,研究了Winkler地基上预应力轨道梁的竖向动力沉降变形。天然地基往往呈现分层特性,因此有必要开展层状地基与预应力弹性板的动力相互作用研究。

本文在已有研究基础上^[16-18],借助解析层元法和经典薄板理论,求解了层状地基上预应力弹性板的动力响应问题。首先采用经典弹性薄板理论和积分变换方法,推导出预应力弹性板的动力方程；然后,结合层状地基的基本解和板-土接触面上的接触条件,求得层状地基上预应力弹性板的位移解答；在此基础上,重点分析弹性板的板-土刚度比和径向预应力对弹性板竖向沉降变形的影响。

1.   预应力弹性板的振动方程

图1所示为预应力弹性板明置在层状横观各向同性地基表面,在预应力弹性板的上表面作用有一竖向简谐荷载$p(r,z_0){\text{e}}^{\text{i}\omega t}$,其中$p$为荷载幅值,$a$为荷载半径,$\omega$为荷载圆频率,$z_0$为地基深度位置,且其所引起的地基反力为$q(r,z_0){\text{e}}^{\text{i}\omega t}$。此外,假设弹性板的径向还受到均匀应力$N$的作用,以此来模拟弹性板所受到预应力的影响。为简化分析,对板-土相互作用模型作以下假定：①弹性板满足小挠度经典弹性薄板理论；②弹性板竖向位移与地基表面紧密连接,且忽略径向摩擦力的影响。层状地基由n层土组成,最下面层土为基岩或半空间,第$j$层土的材料参数分别为竖向弹性模量$E_{\text{v}j}$、水平向弹性模量$E_{\text{h}j}$,竖向剪切模量$G_{\text{v}j}$、正交水平向泊松比${\mu }_{\text{vh}j}$和${\mu }_{\text{h}j}$、土体密度${\rho }_{\text{s}j}$和土层厚度$\Delta h_j$。

图  1  层状地基上预应力弹性板的竖向振动计算模型

Figure  1.  A pre-stressed elastic plate resting on layered soils

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考虑到研究问题的对称性,采用柱坐标系进行分析。根据弹性薄板振动理论,可以得到以位移形式表示的弹性板动力微分方程为^[19]

式中 $D=E_{\text{p}}{h}_{\text{p}}^3/12(1-{\mu }_{\text{p}}^{\text{2}})$为弹性板的抗弯刚度,$E_{\text{p}}$,${\mu }_{\text{p}}$,${\rho }_{\text{p}}$和$h_{\text{p}}$分别为弹性板的弹性模量、泊松比、密度和厚度；$w_{\text{p}}(r,z_0,t)$为弹性板的挠度函数,${\nabla }^2$为Laplace算子；$N$为弹性板的径向预应力,当弹性板径向受压时,$N$为负值。

由于弹性板受到竖向简谐荷载作用,且公式所有变量均含有简谐因子${\text{e}}^{\text{i}\omega t}$,即$w_{\text{p}}(r,z_0,t)=w_{\text{p}}(r,z_0){\text{e}}^{\text{i}\omega t}$,$p(r,z_0,t)=p(r,z_0){\text{e}}^{\text{i}\omega t}$,$q(r,z_0,t)=q(r,z_0){\text{e}}^{\text{i}\omega t}$,为简化理论推导,将上述物理量代入式（1）进行稳态化处理,于是可得

当预应力弹性板受到的是竖向圆形均布简谐荷载时,$p(r,z_0)$可表示为

式中,$p_0$为作用在弹性板上的均布荷载强度幅值。

式（2）是偏微分方程,直接求解较为困难。为此,按常规做法引入Hankel积分变换,将式（2）转换为常微分方程。函数$f(r,z)$为关于坐标$r$的$m$阶Hankel积分变换及其逆变换分别定义为^[20]

式中 $\overline{f}(\xi ,z)$为$f(r,z)$的$m$阶Hankel变换；${\text{J}}_m(\xi r)$为$m$阶第一类Bessel函数；$\xi$为关于$r$的Hankel积分变换参数。

因此,采用式（4a）对式（2）进行关于径向$r$的零阶Hankel变换,并结合其变换性质^[20],可得

式中,${\overline{w}}_{\text{p}}(\xi ,z_0)$,$\overline{p}(\xi ,z_0)$和$\overline{q}(\xi ,z_0)$分别为$w_{\text{p}}(\xi ,z_0)$,$p(\xi ,z_0)$和$q(\xi ,z_0)$在Hankel积分变换域内的物理量。

类似地,对式（3）进行关于$r$的零阶Hankel变换,可得以下表达式：

结合式（5）和（6）,可得预应力弹性板挠度方程在变换域内的表达式为

在研究弹性板-层状地基动力相互作用时,核心问题在于弹性板-地基界面处接触应力的求解,即$\overline{q}(\xi ,z_0)$的求解。若作用在弹性板上表面的外荷载$\overline{p}(\xi ,z_0)$和地基对弹性板下表面的接触应力$\overline{q}(\xi ,z_0)$已知,即可根据式（7）求得预应力弹性板的挠度变形。因此,需求解层状地基在$\overline{q}(\xi ,z_0)$作用下的动力响应。

2.   弹性板与层状地基的共同作用方程

层状地基由n层土体组成,在荷载作用下层状地基的动力响应问题已有众多学者研究。本文采用课题组前期推导的解析层元方法进行求解,其简要求解思路介绍如下：

假设第$j$层土的厚度为$\Delta h_j=z_j-z_{j-1}$,其上表面$z_{j-1}$处与下表面$z_j$处的应力与位移关系为^[18]

式中 ${\overline{u}}_r(\xi ,\Delta h_j)$,${\overline{u}}_z(\xi ,\Delta h_j)$,${\overline{\tau }}_{zr}(\xi ,\Delta h_j)$,${\overline{\sigma }}_z(\xi ,\Delta h_j)$分别为经过Hankel积分变换后的径向和竖向位移分量以及应力分量；$k_{ij}$为对称的精确刚度矩阵元素,即解析层元元素,其表达式及推导过程详见文献[18]。

为表达简洁,将式（8）缩写为以下矩阵形式：

式中 $\overline{U}(\xi ,z_j)={\left[{\overline{u}}_r(\xi ,z_j),{\overline{u}}_z(\xi ,z_j)\right]}^{\text{T}}$和$\overline{T}(\xi ,z_j)=$ ${\left[{\overline{\tau }}_{zr}(\xi ,z_j),{\overline{\sigma }}_z(\xi ,z_j)\right]}^{\text{T}}$分别为Hankel变换域内地基深度$z_j$处的位移矩阵和应力矩阵；$K^j(\xi ,z)$为第$j$层土的刚度矩阵,它只与土层材料参数和厚度有关,且不含负指数函数,因求解时具有解析解的精度,故称之为单层土的解析层元。

对于层状地基,采用式（9）获取每层土体的解析层元,再结合有限元法关于单元刚度矩阵的组装思路,则可建立层状地基的总刚度矩阵方程组如下：

式（10）可进一步改写为

由于弹性板-土体的竖向接触应力$\overline{q}(\xi ,z_0)$作用在地基表面,故（11）式中$\overline{F}(\xi ,z_0)={\left[0,\overline{q}(\xi ,z_0)\right]}^{\text{T}}$。于是,将$\overline{F}(\xi ,z_0)$作为已知外荷载量,代入式（11）即可求得变换域内层状地基任意深度处的位移向量。于是,在变换域内地基表面的竖向位移可表示为

式中,${{\rm K}}_{22}$为式（11）中地基总柔度矩阵的第二行第二列所对应的矩阵元素。

由弹性板与层状地基在接触面上的位移连续条件可知

联立公式（7）,（12）和（13）,可求得变换域内未知的板-土接触应力：

将式（14）代入式（11）,可得到变换域内预应力弹性板的竖向挠度表达式；然后通过数值逆变换,可进一步得到频域内的解答。

3.   数值分析与讨论

根据上述理论编译了相应的Fortran计算程序。为了简化结果分析与讨论,定义弹性板-土体的刚度比为$S_{\text{r}}=E_{\text{p}}{h}_{\text{p}}^{\text{3}}/G_{\text{v1}}{a}^3$。此外,还定义下面无量纲变量：无量纲半径$r_0=r/a$,无量纲圆频率$\overline{\omega }=a\omega \sqrt{{\rho }_{\text{s1}}/G_{\text{v1}}}$,无量纲竖向位移$w_{\text{p0}}=G_{\text{v1}}{w}_p/(a{p}_0)$,无量纲预应力$\overline{N}=N/p$。由于数值计算在复数域内进行求解,所得竖向位移量由实部和虚部两部分数值组成,其真实竖向位移幅值可表示为$\left|w_{\text{p0}}\right|=\left|G_{\text{v1}}{w}_{\text{p}}/(a{p}_0)\right|$。考虑到弹性板材料一般是混凝土,除特殊说明外,下面的算例分析中均取弹性板的泊松比${\mu }_{\text{p}}$为0.25。

3.1   算例验证

文献[2]通过环形单元法分析了明置在地基表面弹性板的竖向频域响应。与本文方法相比,该方法不能考虑弹性板径向预应力对板竖向振动特性的影响。鉴于此,将本文解答退化为无预应力弹性板模型与其结果进行对比验证。在对比算例中,计算参数取为$E_{\text{v1}}$∶$E_{\text{h1}}$∶$G_{\text{v1}}=$2.7∶2.7∶1,${\mu }_{\text{vh1}}={\mu }_{\text{h1}}=0.35$,$S_{\text{r}}=0.125$,${\rho }_{\text{p}}=0.0$,$\overline{\omega }=1.35$和$\overline{N}=0$。图2给出了弹性半空间地基上弹性板在竖向均布简谐荷载作用下的竖向动力位移对比结果,其中,$w_{\text{p}}^{\text{max}}$为$\overline{\omega }=0$时弹性板的中心竖向位移。由图2可知,本文结果与文献[2]结果吻合较好,这证明了本文理论和数值方法的正确性及可行性。

图  2  半空间地基上弹性板的竖向位移对比

Figure  2.  Comparison of vertical displacements of elastic plates on half space

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为进一步验证层状地基与弹性板竖向相互作用理论的正确性,采用文献[21]给出的算例进行对比验证。文献[21]采用传递矩阵法求解了横观各向同性地基与弹性板的相互作用,其中层状地基由5层横观各向同性土体组成,土层参数如表1所示,文献[21]定义的无量纲竖向位移系数为$I_{\text{w}}=w_{\text{p0}}(1\text{+}{v}_{\text{h1}})$,板-土刚度比为$k_{\text{r}}=S_{\text{r}}(1-v_{\text{h1}})/2$。由图3可知,本文解析层元法计算结果与文献[21]结果吻合较好,这就进一步证明了本文方法的正确性与适用性。

图  3  层状横观各向同性地基上弹性板的竖向位移对比

Figure  3.  Comparison of vertical displacements of elastic plates on transversely isotropic layered soils

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表  1  层状地基计算参数

Table  1.  Parameters of layered soils

土层	$E_{\text{v}}$/MPa	$E_{\text{h}}$/MPa	$G_{\text{v}}$/MPa	${\mu }_{\text{vh}}$	${\mu }_{\text{h}}$	$\Delta h$/m
1	6	3	2.4	0.25	0.25	5.0
2	8	16	3.2	0.40	0.25	5.0
3	10	5	4.0	0.35	0.25	5.0
4	12	12	5.0	0.30	0.25	5.0
5	14	14	5.0	0.25	0.25	5.0

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3.2   板-土刚度比的影响分析

实际工程中,弹性板一般由钢筋混凝土材料或者钢材建造而成,其物理力学性能变化幅度不大。然而,天然土体由于历史沉积形成或人为扰动等原因而呈现出复杂的力学特性,造成了板-土刚度比的明显差异。本算例侧重研究板-土刚度比$S_{\text{r}}$对弹性板竖向振动响应的影响。假设地基为横观各向同性半空间模型（${\mu }_{\text{vh1}}={\mu }_{\text{h1}}=0.35$,$E_{\text{v1}}:E_{\text{h1}}:G_{\text{v1}}=2.5:2.5:1$,${\rho }_{\text{p}}=$0.0和$\overline{N}=0$）,分析刚度比$S_{\text{r}}$分别为0.01,0.1,1.0和10的4种工况。

图4给出了$\overline{\omega }=0.1$（低频）和$\overline{\omega }=1.0$（高频）时,不同刚度比条件下,弹性板竖向位移沿径向的分布规律。由图可知,从整体上看,板的中心位移最大,离中心越远,位移越小；刚度比$S_{\text{r}}$越大,位移也越小；无论处于高频还是低频工况,$S_{\text{r}}$在0.01～0.1范围内变化,其竖向位移都比较相近,说明此时弹性板较为柔软；同时还发现,当$S_{\text{r}}=10$时,弹性板竖向位移沿径向的分布都比较均匀,与刚性板的分布特点相似,故可近似看成刚性板。此外,频率越高,竖向位移相对减少,因此低频振动引起无预应力弹性板的变形更为明显。

图  4  板-土刚度比$S_{\text{r}}$对弹性板竖向位移的影响

Figure  4.  Influences of stiffness ratio $S_{\text{r}}$ on vertical displacements of elastic plates

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3.3   弹性板径向预应力的影响分析

对于混凝土路面板,若路面板由C15等级的混凝土建造而成,而且以其抗压、抗拉设计强度作为混凝土板预应力$N$的最大预压、预拉应力值（压应力7.2 MPa,拉应力0.91 MPa）,并以中型车辆单轮的轮压动荷载强度为例（单轮承担荷载/轮压接触面积=70 kN/0.05 m² =1.4 MPa）,可得此时无量纲预应力$\overline{N}$的取值范围约为-5.14～0.65；因此,实际工程中大部分混凝土结构因热胀冷缩所引起的温度应力基本都会在此范围内变动,具有较为广泛的适用性,故后续算例分析中$\overline{N}$的取值基本都在此范围内。

预应力弹性板属于受弯构件,探讨预应力板的竖向位移沿径向的变化规律,有助于深入揭示预应力板的受力变形机理。同样,以横观各向同性半空间地基上预应力弹性板的竖向振动为研究背景（${\mu }_{\text{vh1}}={\mu }_{\text{h1}}=$ $0.3$,$E_{\text{v1}}:E_{\text{h1}}:G_{\text{v1}}=2.85:2.85:1$,$S_{\text{r}}=$$0.2$和${\rho }_{\text{p}}=$0.0）,对承受不同预应力强度的弹性板进行讨论。无量纲预应力$\overline{N}$分别取-1.5,-1,0和1四种工况。需要指出的是,弹性板的径向预应力$\overline{N}$以拉为正,压为负,$\overline{N}=0$表示弹性板没有受到径向预应力的作用。

如图5（a）所示,当荷载频率较低时,预拉应力板（$\overline{N}>0.0$）的竖向位移明显小于其它情况；而且,就本算例而言,无预应力板（$\overline{N}=0.0$）的竖向位移幅值也小于预压应力板（$\overline{N}<0.0$）。换句话说,在其它条件相同的情况下,预压应力板的受力行为最为不利,无预应力板的次之,预拉应力板的最小。高频荷载作用时,如图5（b）所示,无预应力弹性板（$\overline{N}=0.0$）的竖向位移要大于有预应力作用的弹性板（$\overline{N}\ne 0.0$）,这与低频时所得规律不同；而且,此时最大竖向位移并非都集中在弹性板中心,当$\overline{N}=-1$时,其最大竖向位移在无量纲半径$r_0=0.5$处,但最小值仍在边缘位置。此外,高频荷载作用时,弹性板可通过施加预应力的手段来达到减少沉降变形的目的；就本算例而言,施加的预应力$\overline{N}$≤$-1.5$时可有效减少板的沉降变形,这为改善动力弹性板的抗变形能力提供了新思路。

图  5  径向预应力$\overline{N}$对弹性板竖向位移的影响

Figure  5.  Influences of radial prestress $\overline{N}$ on vertical displacements of elastic plates

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当荷载频率较低时,在不同板-土刚度比条件下,较小的预压应力也会导致弹性板产生较大的竖向位移,具体如图6（a）所示。对于$S_{\text{r}}\le 0.2$的弹性板,应避免承受的预应力范围为$-2\le \overline{N}\le 0$,其它情况则约为$-3\le \overline{N}\le 0$比较适宜。总体而言,低频荷载作用时,具有一定预拉应力和较大预压应力的弹性板,其沉降变形均较小,抗变形能力更强。换句话说,工程实践中,低温引起弹性板的拉应力与高温引起弹性板的较大压应力,在一定程度上均能有效减少弹性板的的动力变形。这种现象有利于工程设计人员在进行工程设计时考虑预应力对结构受力变形的影响范围。

图  6  径向预应力$\overline{N}$对弹性板最大竖向位移的影响

Figure  6.  Influences of $\overline{N}$ on maximum vertical displacements of elastic plates

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图6（b）反映的是高频时弹性板最大竖向位移与预应力$\overline{N}$之间的关系。由图6可见,在所施加的预压应力范围中,$S_{\text{r}}=2$的最大竖向位移要远小于其它两种情况；虽然$S_{\text{r}}=\text{0}\text{.0}2$和0.2的最大竖向位移相差不大,但是它们却在$-1\le \overline{N}<0$范围内陡增得非常明显,这说明弹性板要避免受到此范围内预压应力作用,否则会造成弹性板产生过大的竖向位移,进而降低了弹性板的抗变形能力；对于抗变形扰动要求较高的精密设备基础板,尤其要引起重视。对于$S_{\text{r}}=2$的弹性板,其受预压应力影响较为平缓,且主要影响范围为$-2\le$ $\overline{N}<0$。此外,对比图6（a）和（b）发现,板-土刚度比$S_{\text{r}}$相同时,荷载频率越高,最大竖向位移越小,且并非$S_{\text{r}}$越大最大竖向位移越小。总之,弹性板变形与板-土刚度比、荷载频率以及径向预应力密切相关。

4.   结论

基于解析层元法和弹性薄板理论,提出了一种求解预应力弹性板与层状地基竖向动力相互作用的计算模型。通过数值计算与分析验证了该模型的有效性,得出以下两点结论。

（1）无论高频荷载还是低频荷载作用,板-土刚度比$S_{\text{r}}$在0.01～0.1范围内变化时,弹性板竖向位移的差异较小；当$S_{\text{r}}=10$时,弹性板竖向位移沿径向的分布较为均匀,可将其视为刚性板。

（2）动荷载作用下,弹性板的沉降变形与荷载频率、预应力大小及板-土刚度比相关；为避免产生过大变形,对于板-土刚度比$S_{\text{r}}\le 0.2$的弹性板,应避免承受$-2\le \overline{N}\le 0$范围内的预压应力作用,其它刚度比情况则为$-3\le \overline{N}\le 0$比较适宜。