0.   引言

岩土勘察报告提供的岩土力学参数是岩土工程设计及施工的主要依据^[1]。随着岩土工程学科的发展,采用确定性方法确定的参数进行设计施工已不能满足实际工程需求,所以很多人对岩土力学参数随机不确定性进行了探讨,提出多种岩土参数估计的方法。

Keaton等^[1]通过试验测试得到小样本数据,绘制一条下限线用作允许应力分析的强度包络线。吴越等^[2]提出服从正态分布的岩土强度参数的概率特征参数服从于一个二维联合先验分布,并根据Bayes公式推导相应的共轭后验分布函数及岩土强度参数概率特征参数的最大后验估计量计算公式。宫凤强等^[3]提出以“$\text{3}\sigma$”原理为基础,考虑偏度进行调整分布区间的确定方法及推断岩土抗剪强度参数概率分布的正态信息扩散法。刘健等^[4]通过二维K-S检验法进行产状数据相似性判定。已有研究都是基于小样本（样本容量$n$≤30）去推断大样本分布,多少存在一定误差。朱唤珍^[5]提出推断大样本岩土抗剪强度参数概率密度函数的正态信息扩散法,并通过K-S检验确定其适用性。虽然是对大样本粉质黏土层（样本数$n=\text{81}$）进行分析,但这层土是多层工业及民用建筑的持力层,离散性及变异性都不大,指标相对稳定。滇池湖相沉积软土的地质构造与沉积作用使得软土分布,在空间上呈现出巨大的随机性和空间变异性,导致其沉积土层的力学参数出现很大的随机性及不确定性,所以需寻找适合分析此类场地土力学参数的方法并进行分析。

Bayes统计学为这一问题的解决提供了思路,但Bayes统计又依赖于样本的先验信息,若先验信息不足也会为预测带来较大误差。Bayes法在国外岩土参数分析领域已取得很好的成果,如Contreras等^[6]重点介绍了贝叶斯法对不确定性量化的优势,并对实验室测试数据进行贝叶斯回归分析,以推断Hoek-Brown强度准则中使用的岩石强度参数。Contreras等^[7]提出一种贝叶斯方法来推断斜坡设计中使用的岩土参数,并验证其适用性。但Bayes统计学还没有应用到离散性大的大样本信息下的土力学参数分析。随着滇池湖相沉积场地上的地铁5号线、会展中心、沿线很多房地产及市政项目的建设,为课题研究提供了大量岩土工程勘察试验数据。为把巨大数据财富即“样本信息”加以应用,对分布范围广、影响性及离散性大的滇池湖相沉积场地上最具代表性的3类土,即泥炭质土、黏土及粉土的力学参数作为研究对象,根据Bayes统计学原理对大量试验资料进行分析,通过超参数计算,得到3种土力学参数的后验分布及后验分布取值的贝叶斯区间。

虽收集到大量数据样本,但让样本无穷几乎不可能,为此引入费希尔（Fisher）信息量,Fisher信息的确定提供了一种较好的思路去预测当样本量趋于无穷时,岩土参数最后收敛的可靠取值。以这个值作为岩土勘察设计的采用值,并进行相合性及渐近正态性检验。研究结果能在节省岩土工程勘察成本的前提下获得最有价值的试验数据,也可防止一些不确定因素带来参数取值错误造成设计施工出现问题,同时也能对地区规范编制、工程经验积累及设计计算参数取值合理性检验提供参考。

1.   Bayes法分析岩土强度参数

Bayes法不同于经典统计法,因其充分利用先验信息与样本信息,去推断后验分布^[2],为统计开辟了新方法。Bayes大样本方法主要包括后验分布极限,后验分布极限又主要包括后验分布的相合性和渐进正态性。当样本量充分大时,就可用后验分布的极限分布推断岩土参数的收敛取值。这不仅可避免先验分布带来的主观性,还可对极限分布下的Bayes推断和频率法推断的结果进行对比,验证使用Bayes方法的合理性,在节约时间同时降低费用,有着很好的工程意义。

1.1   岩土参数的样本信息

从收集的岩土工程勘察报告中提取泥炭质土、粉土及黏土力学参数的样本数如表1所示。

表  1  土的力学参数的样本数

Table  1.  Number of samples for mechanical parameters of soils

土类	泥炭质土	粉土	黏土
黏聚力c/个	269	230	540
内摩擦角φ/个	294	248	476

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频率直方图可初步判断力学参数的分布情况及样本信息。P-P图是根据变量的累积概率对应于所指定的理论分布累积概率绘制的散点图。用P-P可直观地检测样本数据是否符合某一概率分布,完全符合时是一条直线^[2]。作出3种土的样本频率直方图及P-P图,如图1所示。

图  1  3种土的样本频率直方图及P-P图

Figure  1.  Frequency histogram and P-P diagram of three soil samples

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由图1可知,泥炭质土、黏土$c$,$\phi$及粉土$\phi$的样本频率直方图基本符合以均值为对称轴的正态分布。观测累积概率的P-P图也基本落在一条直线上,且可信度大于95%的数据点较多。

由图1（e）图可看出,粉土$c$的频率直方图与正态分布（图中紫色线）吻合不是很好,故采用对数正态分布（图中黑色线）去描述,发现对数正态分布峰值恰好落在样本频率所占比重最大处。相应的P-P图,如图1（f）所示,除首尾数据外,其它的基本都在可信度为95%的区间内,基本为一条直线。图1（e）中正态分布的紫色线虽只有一个峰值,但并不是关于均值对称分布,其均值已落在样本频率直方图所占比重最大值15 kPa的右侧,且在样本频率峰值右侧的数据点明显多于左侧。故采用对数正态分布比用正态分布描述效果好。对数正态分布用形状参数与刻度参数描述。

昆明粉土较为特殊,有别于其它地区的粉土^[8]。其液化判别多被判为轻微及不液化。粉土$c$的变异系数都较大,埋深对其也有影响,深部比浅层的要高,所以当把不同地点及不同埋深处的粉土层按名称相同进行汇总分析,与正态分布吻合就不是很好,但与对数正态分布吻合好。对数正态分布与正态分布间存在转换关系式,故分析粉土$c$值时,依然按正态分布处理。后面对两种分布产生的相应误差进行了分析^[9]。

1.2   先验分布的选取及后验分布的计算

据图1可知岩土参数大致服从正态分布,其密度函数为

式中 x为岩土力学参数值；$\mu$,$\sigma$分别为正态分布均值及方差,均为未知量。若样本分布为正态分布,其$\mu$的先验分布仍为正态分布,$\sigma$的先验分布为逆伽马分布^[10]。文献[10]指出：对于样本服从$N(\mu ,{\sigma }^2)$的正态分布,$\mu$的后验边缘密度为$t({\nu }_{\text{n}},\mu (\overline{x}),{\sigma }_{\text{n}}^2\text{/}{k}_{\text{n}})$的一元t分布。其中：

式中$\theta$,${\tau }^2$,$\gamma$,$\lambda$为先验分布待确定参数；n为样本量；${\mu }_0$,${\sigma }_0^2$为样本分布的均值和方差；${\nu }_{\text{n}},$${\sigma }_{\text{n}}^2/k_{\text{n}},$$\mu (\overline{x})$分别为t分布的自由度、刻度参数及位置参数；${\nu }_{\text{n}},{\sigma }_{\text{n}}^2\text{/}{k}_{\text{n}},\mu (\overline{x}),{\nu }_{\text{n}}{\sigma }_{\text{n}}^2$为后验分布待确定参数。从式（2）～（6）可知,后验分布参数依赖于先验分布参数。

1.3   超参数的计算

文献[2]中提供了一种很好的确定1.2节中参数的方法。规范指出岩土参数计算平均值时样本量必须≥6个。为便于计算,根据表1的样本数对泥炭质土、粉土按10个一组,黏土样本量大按20个一组,分别计算各组的均值和方差,结果见表2。作为先验分布的拟合数据,先确定先验分布参数$\theta ,{\tau }^2,r\text{/2},\lambda \text{/2}$,再据式（2）～（6）确定后验分布超参数${\nu }_{\text{n}},k_{\text{n}},\mu \text{(}\overline{x}\text{)}$、${\nu }_{\text{n}}{\sigma }_{\text{n}}^2$,计算结果如表3所示。当先、后验分布超参数确定后,可通过Matlab做出3种土6个参数均值$\mu$的后验分布图,如图2所示,因方差不是重点考虑的就不再进行分析。

表  2  3种土的力学参数均值和方差

Table  2.  Mean values and variances of mechanical parameters of three soil samples

泥炭质土				粉土				黏土
$\overline{c}$/kPa	${\sigma }_{\text{c}}^{\text{2}}$	$\overline{\phi }$/(°)	${\sigma }_{\phi }^2$	$\overline{c}$/kPa	${\sigma }_{\text{c}}^{\text{2}}$	$\overline{\phi }$/(°)	${\sigma }_{\phi }^2$	$\overline{c}$/kPa	${\sigma }_{\text{c}}^{\text{2}}$	$\overline{\phi }$/(°)	${\sigma }_{\phi }^2$
29.4	9.8	5.9	1.9	16.0	2.6	17.4	0.4	27.8	12.1	9.16	1.79
24.9	10.0	6.7	2.5	15.9	3.7	17.6	0.4	30.9	9.7	8.79	1.65
19.6	7.8	6.6	2.0	17.6	3.5	17.2	0.5	29.6	11.5	9.27	2.08
32.1	11.3	6.5	3.0	18.7	4.5	17.6	0.6	33.1	9.5	9.41	1.96
27.5	8.0	5.9	2.4	17.4	4.3	17.5	0.5	31.7	7.7	8.26	1.76
26.7	9.6	6.2	2.7	15.4	4.7	17.3	0.8	29.5	9.8	8.87	1.95
32.9	7.9	6.9	2.9	15.9	3.5	17.6	0.6	27.5	10.0	8.11	1.73
26.3	9.2	5.8	2.8	17.1	3.4	17.7	0.7	27.2	8.5	9.20	1.54
24.4	8.6	6.4	2.5	17.4	3.6	17.5	0.6	27.7	10.4	9.32	1.40
23.9	9.9	6.5	2.6	18.0	4.3	17.3	0.3	27.5	11.0	8.71	1.75
25.1	10.2	6.4	2.8	14.5	3.3	17.2	0.1	29.4	11.3	9.77	1.47
27.8	11.2	6.7	2.4	17.3	3.5	17.6	0.5	28.3	11.1	8.29	1.58
28.8	7.6	6.5	2.0	16.1	4.3	17.3	0.6	33.2	10.2	8.70	1.94
31.2	7.6	5.9	2.1	18.0	2.6	17.7	0.7	30.1	11.8	8.80	1.78
29.3	8.0	5.6	2.3	18.1	3.0	17.2	0.5	29.5	10.4	8.49	1.38
27.0	8.7	6.4	3.3	14.8	2.0	17.4	0.6	25.5	10.8	8.78	1.63
25.3	8.1	5.9	2.4	17.8	2.4	17.7	0.6	32.9	12.5	8.05	1.95
30.4	9.8	7.6	1.4	16.1	3.9	17.5	0.6	27.9	9.7	8.31	1.80
26.6	7.1	6.3	2.3	17.8	3.0	17.5	0.7	31.4	9.6	8.60	2.26
31.3	8.4	8.0	2.7	16.8	2.1	17.5	0.4	27.3	10.9	8.76	1.58
26.4	7.4	7.3	2.4	18.6	4.0	17.4	0.5	29.3	7.0	9.48	1.91
25.3	6.6	7.1	3.1			17.4	0.2	29.8	10.1	8.55	1.53
23.7	9.3	5.3	1.7					28.4	7.0	8.43	1.76
26.3	8.5	6.7	2.9					31.6	10.1	8.77	1.82
27.7	10.0	6.7	2.6					25.5	11.1
27.4	7.6	7.6	2.7					28.0	10.4
26.8		5.7	2.5					32.9	11.7
		7.4	2.4
		5.9	2.6
		7.5	1.8

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表  3  先验参数取值与后验参数计算表

Table  3.  Values of a priority parameter and calculation of posterior parameter

土名	参数	n	μ0	${\sigma }_{\text{0}}^{\text{2}}$	$\theta$	${\tau }^{\text{2}}$	r/2	$\lambda$/2	k	vn	kn	$\mu \text{(}\overline{x}\text{)}$	vn${\sigma }_{\text{n}}^{\text{2}}$	${\sigma }_{\text{n}}^{\text{2}}$
泥炭质土	c/kPa	27	27.18	9.30	27.18	2.93	52.34	0.170	3.17	131.68	30.17	27.18	242.14	1.83
	φ/(°)	6.52	2.75	6.48	0.67	30.48	0.080	4.10	90.96	34.10	6.52	79.92	0.88
粉土	c/kPa	22	16.92	3.73	16.97	1.21	19.26	0.180	2.78	60.52	24.78	16.93	78.70	1.30
	φ/(°)	24	17.45	0.54	17.45	0.15	8.41	0.060	3.60	40.82	27.60	17.45	12.54	0.04
黏土	c/kPa	27	19.37	10.84	29.40	2.23	56.37	0.190	4.86	139.74	31.86	29.40	695.73	4.97
	φ/(°)	24	8.78	1.84	8.78	0.46	67.93	0.025	4.00	159.86	28.00	8.78	42.37	0.26

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图  2  力学参数均值μ的后验分布图

Figure  2.  Posterior distribution of mean μ of mechanical parameters

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从图2可知,3种土中泥炭质土c最大,c范围主要落在[26, 29]kPa区间,粉土c最小,黏土介于两者之间。而粉土φ则是最大,黏土次之,泥炭质土最小。由前面推论可知3种土的力学参数的后验分布均为一元t分布,确定后验分布之后,可采用Bayes估计区间给出岩土参数取值区间。

1.4   岩土参数可信Bayes区间的选取

$\mu$的后验分布获得后就可确定$\mu$落在区间[a,b]上的概率为$1-\alpha （0＜\mu ＜\text{1}）$,即能满足$p（a＜\mu ＜b|x）$等于$1-\alpha$,则区间[a,b]就称为Bayes可信区间。

对经典统计学及Bayes的可信区间计算进行对比分析。因3种土的力学参数均值$\mu$的后验密度分布为$t({\nu }_{\text{n}},\mu (\overline{x}),{\sigma }_{\text{n}}^2/k_{\text{n}})$,相关参数已经计算出,但还需引入离散度${\eta }_{\text{n}}$这一概念。${\eta }_{\text{n}}$综合考虑了所采集样本偏差、数量及先验超参数的影响,可作为对所采集样本分布标准偏差的一个修正值。离散度${\eta }_{\text{n}}$计算如下：

式中符号意义同前。便可得到$\mu$的$1-\alpha$的Bayes区间为：$[\mu (\overline{x})-{\eta }_n{\mu }_{\alpha /2},\mu (\overline{x})+{\eta }_n{\mu }_{\alpha /2}]$,${\mu }_{\alpha /2}$为$N(0,1)$的上侧分位数,可信区间为95%时,取1.96。经典统计学的可信区间为：$[\mu (\overline{x})-{\sigma }_0{\mu }_{\alpha /2}$,$\mu (\overline{x})+$${\sigma }_0{\mu }_{\alpha /2}]$。计算出的Bayes及经典统计学的可信区间如表4所示。由表4可见,与经典统计学相比Bayes法因考虑了先验和后验分布,充分利用已有样本带来的信息确定岩土力学参数,其可信区间范围更小,更方便工程应用。

表  4  参数的可信区间统计表

Table  4.  Statistical table of confidence interval of parameters

土类	指标	Bayes可信区间	经典统计学可信区间
泥炭质土	c/kPa	[26.6,27.8]	[24.3,30.04]
	φ/(°)	[6.4,6.7]	[6.1,7.2]
粉土	c/kPa	[16.6,17.2]	[15.6,18.6]
	φ/(°)	[17.41,17.48]	[16.2,18.4]
黏土	c/kPa	[29.2,30.6]	[28.7,32.1]
	φ/(°)	[8.7,9.0]	[6.9,10.3]

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为检验Bayes预测方法的可行性,选取不同地铁站点及区间隧道的岩土勘察综合指标值的取值进行检验,如表5所示。

表  5  不同区间站点参数指标选取值

Table  5.  Parameter values for different interval sites

站点名称	泥炭质土		粉土		黏土
	c/kPa	φ/(°)	c/kPa	φ/(°)	c/kPa	φ/(°)
河尾村站	27.0	6.4	17.8	17.4	29.2	9.0
迎海路站	26.3	6.5	16.6	17.6	29.8	8.3
滇池学院	25.6	5.9	15.8	17.1	29.6	8.5

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表5与表4对比可知,工程选用的设计值基本都落在Bayes区间,再次证明Bayes法较经典统计学有明显的优势,能缩小选值区间,为工程设计施工取值带来便利,且更加可靠。

2.   后验分布极限

后验分布极限包括相合性和渐近正态性。样本包含信息可通过Fisher矩阵或观测Fisher矩阵来度量^[11]。样本增加时,先验分布影响会逐渐减小,样本值会越来越高度集中在某个值附近,所以精确确定先验分布就没有必要。当样本量较大时,在一些正则条件下,后验分布可用极大似然估计均值$\widehat{\mu }$,观测Fisher信息矩阵的逆矩阵可用协方差的正态分布来逼近^[12]。对上述3种土的土力学参数进行拟合分析,检验其相合性,推断当样本趋于无穷时其力学参数均值的最后收敛值。最后分析后验分布渐近正态性的可行性,为之前的贝叶斯区间估计提供检验。

2.1   岩土力学参数先验分布的相合性

描述单个变量分布最好的是正态分布^[10],据正态分布的性质,在区间[μ-$3\sigma$,μ+$3\sigma$]内的概率为0.9974,因此可用此方法对样本值太大或太小的进行舍弃。由于受到外界和内在多因素影响,使得土力学参数c和φ是一个随机变量,但在对土取样试验时,若样本数足够大,力学参数c和φ就会逐渐逼近一个值,这就是力学参数在该值处的相合中心。

为说明理论的适用性,把3种土的c和φ样本数分成3份,划分为3组。分组太多,需做出很多直方图与P-P图,篇幅过于冗长；分组太少,则不能体现上述特点。样本总数及分组情况如表6所示。按依次累加法,把所采集样本进行分类。

表  6  c和φ值样本总数及分组情况

Table  6.  Total number and grouping of c and φ samples

土类	粉土		黏土		泥炭质土
指标	c	φ	c	φ	c	φ
样本总数/个	230	248	540	476	269	294
第一组/个	100	100	200	200	100	100
第二组/个	200	200	400	400	200	200
第三组/个	230	248	540	476	269	294

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现取粉土φ和黏土c作为相合性分析对象,进行相合性证明及贝叶斯估计区间的验证,其它土的力学指标可以类推。做出不同样本量时的正态频率分布直方图及P-P图,如图3所示。

图  3  粉土φ和黏土c的样本频率直方图与P-P图

Figure  3.  Frequency histogram and P-P diagram of silt φ & clay c

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由图3（e）可知,黏土c样本量为200时,可直观的看出频率分布直方图中样本峰值大约在29.3 kPa附近,该处频率接近34%,样本均值为28.7 kPa,两者偏差已经很小。由图3（f）可知,黏土c的累积概率基本落在一条直线上,再次证明土的力学参数分布基本符合正态分布。从图3（g）可知,样本量为400时c均值为29.1 kPa,大约在29.3 kPa处同样有一高峰；当样本量增加到540时,从图1（i）可知,c均值为29.4 kPa,频率增加更多,P-P图也更接近一条直线,充分说明样本越大黏土c越是收敛。同理对粉土φ频率直方图及P-P图进行分析可得相同结果。

现假定岩土参数正态分布图中,频率最大的那个值为相合中心,并且记为$\rho$。其黏土$c$和粉土$\phi$在不同的样本量下的均值与估计的$\rho$如表7所示。

表  7  力学参数均值和相合中心

Table  7.  Means and coincidence centers of mechanical parameters

土类	样本量	正态分布峰值		相合中心
		c/kPa	φ/(°)	${\rho }_c$/kPa	${\rho }_{\phi }$/(°)
黏土	200	28.7		29.4
	400	29.1		29.4
	540	29.4		29.4
粉土	100		17.50		17.50
	200		17.47		17.50
	248		17.50		17.50

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由表7可知,随着样本量增加,黏土$c$和粉土$\phi$均值都是逐渐收敛到一个值附近,靠近相合中心,与相合中心的差距越来越小。

2.2   后验分布相合性验证

由图1（i）可知,黏土c的 540个样本服从$N$$(29.4,10.8)$的正态分布,其中${\sigma }^2=10.8$为已知,即$\mu$服从$\pi (\theta ,{\tau }^2)$的先验分布,与$\tau$为超参数,已经算出见表3。黏土$c$的均值$\mu$服$\pi (29.4,2.23)$的先验分布,粉土$\phi$的均值$\mu$服从$\pi (17.45,0.15)$的先验分布。由Bayes公式^[10]可得后验密度函数为

式中 $f(x|\mu )$为样本密度函数；$\pi (\mu )$是$\mu$的先验密度；$f_{\text{m}}(x)$为x的边缘密度,且$\mu$无关。

故上式可写为

$\propto$表示正比于。此时$\mu$的后验分布$\pi (\mu |\overline{x})$可用$N({\mu }_{\text{n}}(\overline{x}),{\epsilon }_{\text{n}}^2)$的正态分布来代替。其中：

式中,$\overline{x}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{540}{x}_i}$等于${\mu }_0$,将${\sigma }^2=10.48$,${\tau }^2=2.23$,n=540,$\overline{x}$=29.4,代入式（10）,（11）得后验极限分布均值和方差,${\mu }_{\text{n}}\left(\overline{x}\right)=29.39$,${\epsilon }_{\text{n}}^2=0.019$。同理可算出粉土的后验分布参数,${\mu }_{\text{n}}\left(\overline{x}\right)=17.45$,${\epsilon }_{\text{n}}^2=0.002$。用Matlab做出黏土c和粉土$\phi$大样本相合性检验图像,如图4所示。由图4可知岩土参数在大样本情况下逐渐收敛到相和中心,取值更加便利。

图  4  力学参数的 μ 的后验相合性检验图

Figure  4.  Posterior consistency tests on μ of mechanical parameters

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3.   后验分布的渐近正态性

3.1   后验分布渐近正态性原理

Bayes大样本方法主要基于岩土参数$\mu$后验分布的逼近。样本量增加时,单个指标参数的后验分布一般条件下逐渐趋近正态分布,因此可找到渐近正态分布函数。另外,${\widetilde{I_{\text{n}}}}^{-1}$也可用期望的Fisher信息矩阵在极大似然估计$\widehat{\mu }$处的值来代替,此时渐进正态函数服从$N(\widehat{\mu },I_{\text{n}}^{-1}\text{(}\mu \text{))}$,且样本量趋于无穷时,后验分布可被一个合适的正态分布近似。当样本较大时,后验分布高度集中在众数附近。如原始数据中540个黏土$c$的众数29.39 kPa,正态分布均值是29.4 kPa,非常接近。

3.2   渐近正态性证明

假设后验众数为${\tilde{\mu }}_{\text{n}}$,后验密度$\pi (\mu |x_{\text{n}})$在${\tilde{\mu }}_{\text{n}}$处进行泰勒展开得

展开式中第一项的一阶导数为0,当$\mu$靠近${\tilde{\mu }}_{\text{n}}$时,可证明二阶以上导数是可以忽略的^[10]。式中$\widetilde{I_{\text{n}}}$为广义观测的Fisher矩阵,当总体概率函数为只有一个变量时,$\widetilde{I_{\text{n}}}$是一个信息量值而不再是矩阵,偏导数也为对变量求二次偏导。式（12）中右边第一项与$\mu$无关,因此后验密度可近似用下式计算。

它是服从$N(\widetilde{{\mu }_{\text{n}}},{\widetilde{I_{\text{n}}}}^{-1})$。现只需确定${\widetilde{I_{\text{n}}}}^{-1}$,便可找到渐近正态分布函数。另外,${\widetilde{I_{\text{n}}}}^{-1}$也可用期望的Fisher信息阵在极大似然估计$\widehat{\mu }$处的值来代替,此时渐进正态函数服从$N(\widehat{\mu },I_{\text{n}}^{-1}\text{(}\mu \text{))}$,且

设$x_1,x_2\cdots x_{\text{n}}$是来自大样本正态总体$N\text{(}\mu ,{\epsilon }^2\text{)}$的一个样本,且$\mu$已知,黏土$c$值的540个样本中$\mu =29.4$,正态分布的密度函数f(x)的对数为

对$\epsilon$求偏导数得

采用式（16）来计算Fisher值。由此可得${\epsilon }^2$的Fisher信息量为

代入2.2节中的数据解得：$I_{\text{n}}^{-1}(\mu )=0.722\times {10}^{-3}$。同理可以解得其它土参数$\phi$和$c$的$I_{\text{n}}^{-1}(\mu )$。又因$\mu$的后验渐进正态函数服从$N(\widehat{\mu },I_{\text{n}}^{-1}\text{(}\mu \text{))}$,当样本趋于无穷时,黏土$c$的分布可用$N(29.4,0.722\times {10}^{-3})$的正态分布来逼近。也就是说黏土$c$值在样本量趋于无穷时,其收敛值可取29.4 kPa,这与相合中心也是相互吻合的。且参数取值已经能很好的克服离散性。

4.   误差分析

从图1（e）,（f）可以直观的看出粉土$c$值的频率直方图不能很好的满足正态分布,但能较好的满足对数正态分布。如果随机变量$x$自身满足正态分布,则$f(x)={\text{e}}^x$满足对数正态分布,反之随机变量$x$满足对数正态分布,则$f(x)={\ln }^x$就满足正态分布,据此来研究正态分布代替对数正态分布的误差。

分析思路：原始数据已经满足对数正态分布,对原始数据就不做处理。根据对数正态分布的形状参数$\alpha$、刻度参数$\gamma$与对数正态分布均值和标准偏差间的关系式,推算出对数正态分布的均值和标准偏差,进行如下计算。已知对数正态分布函数的密度函数为^[10]

式中,$\alpha$为形状参数,$\gamma$为刻度参数。

此时对数正态分布的均值为

标准偏差为

众数为

从图1（e）可得$\alpha =2.8$,$\gamma =0.22$。代入（19）至（21）式可得${\mu }_1=18.36$,${\sigma }_1^2=4.19$,$\omega =16.24$。

对数正态分布先验分布的确定：何基报等^[13]指出,对数正态分布可取共轭先验分布为$\ln (x,{\alpha }_0,{\gamma }_0)$的对数正态分布,其中${\alpha }_0,{\gamma }_0$为待确定的超参数。文献[13]中已直接给出${\alpha }_0,{\gamma }_0$的计算方法。根据工程经验,粉土$c$的95%的可信区间为（10～22 kPa）,即粉土$c$小于10 kPa的概率与大于22 kPa的概率为0.05。根据文献[13]可得

式中,UL及LL分别为粉土$c$的可信上、下限。

$p_0$可根据可信区间的百分比定,可以取95%,90%等值,本文中取95%,${\varphi }^{-1}$为标准正态分布。结合标准正态分布的分位数表即可求得${\alpha }_0,{\gamma }_0$。其中：

代入式（22）,（23）可得：形状参数${\alpha }_0=2.025$,刻度参数${\gamma }_0=0.54$,先验分布也随之确定。当先验分布确定后,黄超^[14]结合样本信息给出对数正态分布情况下Bayes关于后验分布均值的表达式,并得出相关结论。如果$Y={\ln }^x$是服从均值为${\mu }_1$,方差为${\sigma }_{\text{1}}^{\text{2}}$的正态分布,且参数${\mu }_1$的先验分布为$\ln (x,{\alpha }_0,{\gamma }_0)$的对数正态分布,则在给定样本$Y_1,Y_2\cdots Y_n$时,${\mu }_1$的后验分布表达式为$N\left(\frac{n\overline{Y}{\gamma }_0^2+{\alpha }_0{\sigma }_1{}^2}{n{\gamma }_0^2+{\sigma }_1{}^2},\frac{{\gamma }_0^2{\sigma }_1{}^2}{n{\gamma }_0^2+{\sigma }_1{}^2}\right)$。$\overline{Y}$为观测样本平均值；$n$为样本数；${\sigma }_{\text{1}}^{\text{2}}$为观测样本方差。

从式（20）可知${\sigma }_1^2=4.19$。将先验分布数据${\alpha }_0$,${\gamma }_0$,$n=230$代入,得粉土黏聚力大样本下${\mu }_1$的对数正态后验分布为$N(17.399,0.0171)$。文献[14]也给出其可信Bayes区为$\left[\overline{Y}-\frac{S_Y}{\sqrt{n-1}}{t}_{\frac{a}{2}}\left(n-1\right),\overline{Y}+\frac{S_Y}{\sqrt{n-1}}{t}_{\frac{a}{2}}\left(n-1\right)\right]$,其中$S_Y=$$\frac{1}{n}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{230}\left({\ln }^x-\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{230}{\ln }^x}\right)}}^2=0.0475$,取95%可信区间时,$t_{\alpha /2}=1.96$,计算可得粉土的对数正态分布95% Bayes可信区间为[16.95,18.28]kPa,这与表4采用正态分布计算结果相比下限误差为2.06%,上限误差为4.5%。可见采用正态分布代替对数正态分布的误差是可以忽略的。

5.   结论

（1）Bayes法因考虑了先验信息作用,与经典统计学相比,参数变化区间变小,取值更准确。

（2）滇池湖相沉积软土的力学参数随机性非常大,但可通过增加样本量的方法寻找参数可靠值。如黏土快剪下的黏聚力c就稳定在29.3 kPa附近。

（3）对数正态分布与正态分布两者可以相互转化,并且误差不是很大,参数满足对数正态分布时也可用正态分布来进行分析计算。

（4）当样本充分大,对于一类先验分布,可用$N(\widehat{\mu },I_{\text{n}}^{-1}\text{(}\mu \text{))}$来代替后验分布,且这些量均不依赖于先验分布。

（5）当样本足够大,且样本间离散性不是很强,方差不大时,相合性在一维变量情况下都普遍成立。后续进行二维或多维情况的讨论。

（6）相合性分析知,大样本时可减少先验分布所带来的误差,对真值有影响的其它因素所占比重逐步降低。